Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

в Physical Review D и в Успехи Физических Наук, одно из самых важных утверждений было ошибочным. Если бы рецензенты четко об этом написали, то я был бы им благодарен и ясно, что никаких претензий у меня не было бы. Но когда аргументом является то, что слава Богу, звезды мы видим или то, что мое квантовое состояние не удовлетворяет уравнениям Максвелла, то после этого уже трудно всерьез относиться к рецензии.

Итак, если принять мировоззрение Толи Камчатнова и других людей, которые говорили похожие вещи, то получается следующая картина. Фотоны от звезд идут к нам не по классическим траекториям т.к. волновые функции фотонов сильно расплываются и могут иметь размеры даже порядка световых лет. Но с вероятностью близкой к единице, фотоны от данной звезды будут приниматься только с импульсами, направленными от звезды к нам. Т.е., это обобщение задачи Мотта-Гайзенберга на случай, когда волновая функция фотона не обязательно симметрична и это может быть подтверждено расчетом.

Я спрашивал у Толи и других, а как же быть тогда с наблюдением пульсаров и гамма-всплесков? Но они говорили, что это отдельная история, с которой надо разбираться. А на вопрос о том, следует ли правило, что координатные и импульсные волновые функции связаны преобразованием Фурье, из каких-то теоретических соображений или из эксперимента, ответ был такой, что в истории с расплыванием теория не противоречит эксперименту и это аргумент в ее пользу. Но даже если Толя и эти люди правы, то непонятно, почему этот вопрос никак не описан в учебниках, даже в учебниках по общей физике. Как я отмечал выше, многие физики об этом вообще не задумывались и думают, что фотоны от звезд идут к нам по приблизительно классическим траекториям.

И все же, думая над этой проблемой, я пришел к выводу, что ситуация когда волновые функции фотонов от звезд имеют громадные размеры, не соответствует тому, что мы наблюдаем. Чтобы объяснить это по возможности проще, рассмотрим случай, когда волновая функция фотона, испущенного звездой сферически симметрична. Тогда простой расчет показывает, что волновая функция фотона является сферой, которая в каждый момент времени t имеют радиус ct и некоторую очень маленькую толщину a, которая не меняется со временем. Со временем радиус этой сферы становится все больше и больше, и, если расстояние от звезды до Земли равно L, то по дороге к нам, сфера проходит через все звезды и планеты, которые находятся от звезды на расстоянии меньше L, даже те звезды и планеты, которые находятся от звезды в направлении противоположном направлению на Землю.

Возникает вопрос: почему такой фотон был зарегистрирован на Земле и не был зарегистрирован на звездах или планетах через которые прошла волновая функция фотона? Ответ может быть такой, что процесс регистрации фотона чисто вероятностный: просто нам повезло, что фотон решил осчастливить нас и дал себя зарегистрировать глазом или телескопом. Но тогда возникает другой вопрос. Если по дороге к нам фотон прошел звезды и планеты не будучи зарегистрирован там, то примерно с такой же вероятностью он может пройти Землю и быть зарегистрирован на противоположной стороне Земли. И тогда мы бы видели звезды сквозь Землю.

Более того, рассмотрим такой эксперимент. Допустим, мы смотрим на звезду, а потом перед глазом и звездой помещаем маленький экранчик. Тогда опыт говорит, что мы не можем видеть звезду через экранчик. Но раз волновая функция фотона прошла через столько звезд и планет на ее пути, то, примерно с такой же вероятностью, она пройдет через экранчик и фотон будет зарегистрирован глазом за экранчиком, так что мы сможем видеть звезду через экранчик.

Такая ситуация не кажется слишком необычной в свете того, что мы знаем о нейтрино. Мы знаем, что нейтрино могут не только легко проходить сквозь Землю без взаимодействия с ней, но даже нейтрино, родившиеся в центре Солнца без проблем доходят до Земли. Основные нейтринные детекторы находятся глубоко под Землей и, например, в экспериментах OPERA и ICARUS, нейтрино образованные в CERN шли до лаборатории в Gran Sasso в Италии примерно 730 км через Землю. Объяснение такое, что т. к. при малых энергиях слабое взаимодействие действительно слабое, то вероятность взаимодействия нейтрино с атомами или молекулами внутри Солнца и Земли очень маленькая. Фотон взаимодействует с такими атомами или молекулами не слабо, а электромагнитно. При малых энергиях электромагнитное взаимодействие намного сильнее слабого. Но, с другой стороны, т.к. волновая функция фотона имеет громадные размеры (световые годы или больше), то вероятность взаимодействия такого фотона с каждым данным атомом или молекулой намного меньше чем для нейтрино от Солнца.

Казалось бы, проблема очевидная, но некоторые физики, с которыми я ее обсуждал, сказали, что и здесь проблемы нет. По их мнению, ситуация здесь аналогична дифракции в классической электродинамике.

Действительно, рассмотрим случай, когда широкая волна налетает на объект, размеры которого намного меньше чем ширина волны. Тогда, после прохождения объекта, часть волны, которая была далеко от объекта не изменится, в той части волны, которая была внутри объекта, возникнет дырка и проблема только в том что произойдет с той частью волны, которая близка к границе объекта. Классическая теория говорит, что когда волна отойдет от объекта на расстояние, называемое радиусом Рэлэя, то дырка затянется и все будет похоже на ситуацию как будто объекта не было бы. Поэтому, если бы аналогия с классикой работала, то проблем не было бы: сразу после прохождения объекта волновая функция фотона была бы равна нулю сразу за объектом и не могло бы быть ситуации, когда фотон регистрируется на обратной стороне Земли или за экранчиком.

Однако, такой аналогии с классикой не может быть из нескольких соображений. Во-первых, качественное объяснение классической дифракции очевидно из того факта, что классическая электромагнитная волна состоит из многих фотонов. Действительно, предположим, для простоты, что эти фотоны – (почти) точечные. Тогда с теми фотонами, которые не попадают на объект, вообще ничего не происходит, а те фотоны, которые попадают на объект – поглощаются этим объектом. Но в нашей проблеме мы имеем дело только с одним фотоном, волновая функция которого не (почти) точечная, а имеет громадные размеры.

Во-вторых, волновая функция элементарной частицы не может интерпретироваться как классическая волна. Термин "волновая функция" возник при создании квантовой теории для объяснения квантовых явлений на классическом языке, но такого объяснения не существует. Например, рассмотрим электрон, электрический заряд которого равен e. Тогда величина e|ψ(r)|2 не может считаться плотностью заряда электрона в точке r (по крайней мере в классическом смысле) потому,