Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

Когда европейцев познакомили с этой идеей, они ее не поняли. Зачем нужен символ, если нечего считать? Но для индийцев ничто, пустота – важная философская концепция, и они были готовы дать ей название и исчисление.

В Европе все еще использовали римские цифры, а вычисления производили на абаках. Но работа с абаком требует особых умений и навыков. Поэтому простым людям вычисления были недоступны. Вычисления позволяли власть имущим сохранять власть. От расчетов на абаке не остается записей. Есть только результат. Такой системой было удобно злоупотреблять.

Поэтому правящие круги пытались остановить распространение системы счисления, завезенной с Востока. Она дала бы простому человеку доступ к вычислениям и возможность записывать эти вычисления. Внедрение этого шортката к работе с числами было, вероятно, не менее важно, чем изобретение печатного станка. Оно открыло математику народу.

Черная магия математики

Сегодня наш шорткат к вычислениям – это компьютеры и калькуляторы. Но те, кому сейчас за пятьдесят, помнят, как их учили работать еще с одним шорткатом, помогавшим выполнять сложные арифметические вычисления: это были таблицы логарифмов. На протяжении целых столетий они были основным шорткатом для любого торговца, штурмана, банкира или инженера. Этот инструмент давал им преимущество перед любым конкурентом, пытавшимся выполнять расчеты «в лоб».

Могущество логарифмов поставил нам на службу шотландский математик Джон Непер. Мне очень хотелось бы познакомиться с Непером – не только потому, что он придумал этот удобный шорткат к вычислениям, но и потому, что он, судя по всему, был человеком безумно необычным. Непер, родившийся в 1550 году, увлекался теологией и оккультизмом. Он разгуливал по своему имению в сопровождении черного паука, которого держал в маленькой клетке. Соседи считали, что он якшается с дьяволом. Когда он пригрозил одному из них, что переловит его голубей, клевавших его зерно, сосед решил, что Непер блефует, так как поймать птиц невозможно. На следующее же утро он был поражен, увидев, как Непер ходит по полю, собирая неподвижно сидящих там голубей в мешок. Неужели их заколдовали? Как выяснилось, голуби просто опьянели, наклевавшись гороха, который Непер вымочил в бренди.

Непер активно эксплуатировал веру местных жителей в его колдовские способности. Когда ему нужно было выяснить, кто из его слуг ворует, он сказал им, что вора назовет его черный петух. Каждый из слуг по очереди должен был войти в комнату и прикоснуться к петуху. Непер утверждал, что при прикосновении преступника петух закричит. Когда все слуги побывали в комнате с петухом, Непер велел им показать руки. У всех кроме одного на руках была сажа. Непер вымазал ею петуха, зная, что только вор побоится прикоснуться к птице.

Помимо теологических изысканий Непера увлекала и математика. Но его интерес к числам был всего лишь хобби, и он сетовал на то, что все его богословские занятия не оставляют достаточно времени для выполнения вычислений. Затем, однако, он разработал хитроумную стратегию, позволяющую обойти те долгие вычисления, через которые он пытался продираться.

Вот что он писал в книге, посвященной этому шорткату:

Видя, что ничто, о любезные исследователи математики, не мешает математическим занятиям, а также не досаждает и не стесняет вычислителей более, нежели операции умножения, деления и извлечения квадратов и кубов больших чисел, кои не только отнимают непомерное время, но и бывают по большей части подвержены многим коварным ошибкам, начал я рассуждать в уме своем о том, какими надежными и удобными средствами смог бы я устранить такие затруднения.

В результате Непер открыл способ, превращающий трудную задачу перемножения двух больших чисел в гораздо более простую операцию сложения. Какую из следующих операций вы выполнили бы вручную быстрее:

379 472 × 565 331

или

5,579179 + 5,752303?

Секрет этого волшебного превращения заключается в логарифмической функции. Функция подобна маленькой математической машине, которая берет одно число, а затем преобразует его в соответствии с внутренними правилами этой функции и выдает на выходе другое. Логарифмическая функция берет число и выводит то число, в степень которого нужно возвести 10, чтобы получить исходное[25]. Например, если ввести в логарифмическую функцию число 100, на выходе получим 2, потому что при возведении 10 в степень 2 получается 100. Если ввести в логарифмическую функцию миллион, на выходе получится 6, потому что миллион – это 10 в 6-й степени.

Использовать логарифмическую функцию становится несколько сложнее, когда в нее вводишь числа, отличные от явных степеней 10. Например, чтобы получить число 379 472, нужно возвести 10 в степень 5,579179. Чтобы получить число 565 331, 10 возводят в степень 5,752303. Таким образом, как и в случае многих других шорткатов, для использования этого нужно проделать большую предварительную работу. Непер потратил много часов на подготовку таблиц, в которых можно найти логарифмы разных чисел, но, когда эти таблицы были готовы, шорткат заработал в полную силу.

Потому что, если у вас есть два числа, выраженные в виде степеней 10, например, 10a и 10b, перемножить их очень просто. Их произведение равно 10a+b. То есть можно не заниматься тяжелой работой по перемножению 379 472 × 565 331, а сложить логарифмы этих чисел – 5,579179 + 5,752303 = = 11,331482 – а затем найти значение 1011,331482 в таблицах, которые подготовил Непер.

Идея применения вычислительных таблиц для ускорения арифметических операций была не нова. Кажется даже, что некоторые из клинописных табличек древних вавилонян применялись именно для этого. В них для перемножения больших чисел была задействована другая формула. Если взять два больших числа A и B, то алгебраическое соотношение

A × B = 1/4 × {(A + B)2 – (A – B)2}

заменяет умножение вычитанием двух квадратов. Хотя такие алгебраические обозначения появились только в IX веке, вавилоняне понимали связь между квадратами и произведениями, которая позволяла им пользоваться шорткатом к вычислению произведения A и B. Вместо вычисления квадратов их можно было просто найти в одной из таблиц квадратов,