Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

на кости, может быть довольно непросто. Нужно заново пересчитать все зарубки. В какой-то момент почти в каждой культуре возникает светлая идея создания некой сокращенной, более удобной для чтения записи всех этих зарубок.

Несколько лет назад, когда я жил в Гватемале, меня заинтриговали странные последовательности точек и тире, встречавшиеся на тамошних банкнотах. Я спросил нашу соседку, не закодированы ли в местных деньгах надписи какой-то странной азбукой Морзе. Она объяснила, что это действительно код, но закодирован на каждой банкноте ее номинал. Точки и тире были сокращенным представлением способа записи чисел, существовавшим в культуре майя. Майя понимали, что человеческому мозгу трудно определять количество зарубок, когда их больше четырех. Поэтому они не ставили на странице все больше и больше точек, а, дойдя до пяти, проводили через четыре точки линию – как делают заключенные, считающие дни до выхода на свободу. Таким образом линия стала условным обозначением числа пять.

Но что делать, если нужно сосчитать еще большее количество? Древние египтяне разработали весьма впечатляющую систему иероглифов, обозначающих разные степени десяти. Число десять обозначалось изображением пут для скота (приспособления, ограничивающего движения животного), сто – веревочной петлей, тысяча – цветком кувшинки, десять тысяч – согнутым пальцем, сто тысяч – лягушкой и, наконец, миллион – коленопреклоненным человеком с воздетыми к небу руками; у него был такой вид, будто он только что выиграл в лотерею.

Это была хорошо продуманная система. Чтобы обозначить миллион, египетский писец мог не наносить на кость миллион зарубок, а просто нарисовать на папирусе фигурку коленопреклоненного человека. Такое умение легко записывать большие числа было одним из факторов, позволивших Египту превратиться в могущественную цивилизацию, способную успешно собирать налоги со своего населения и строить крупные города.

Но и в египетской системе было нечто весьма нерациональное. Если писец хотел записать число 9 999 999, он должен был использовать 63 символа. А если к этой сумме добавлялась еще одна единица, нужно было изобретать новый символ, обозначающий 10 000 000. Заметим теперь, что в нашей современной системе счисления для записи такого большого числа, как 9 999 999, мы используем всего семь символов, а при помощи всего десяти разных символов (0, 1, 2, … 9) можно записать сколь угодно большое число. Все дело в позиционной системе счисления, поразительном шорткате, независимо найденном на разных этапах истории человечества тремя разными культурами.

Первой этот шорткат нашла цивилизация, соперничавшая с египетской, – вавилоняне. Интересно отметить, что в основе системы счисления их культуры лежали не степени десяти, как у египтян или в нашей нынешней системе. Они работали со степенями шестидесяти. У них были свои обозначения для всех чисел до 59, и только после этого, как они считали, требовалась перегруппировка. Числа от 1 до 59 они записывали с помощью всего двух символов: символа , обозначавшего 1, и символа , обозначавшего 10. Но это означало, что для записи числа 59 требовался набор из целых четырнадцати символов.

На первый взгляд такая система кажется далеко не рациональной. Но в выборе числа 60 скрывается шорткат совсем другого рода. Все дело в делимости этого числа. Число 60 можно представить в виде произведения стольких разных делителей – как 2 × 30, как 3 × 20, как 4 × 15, как 5 × 12 или как 6 × 10, – что у торговцев, которые брали на вооружение эту систему, было множество возможностей по-разному делить свои товары. Именно из-за высокой делимости числа 60 мы до сих пор используем его для отсчета времени. Час из шестидесяти минут и минута из шестидесяти секунд происходят из древнего Вавилона.

Однако по-настоящему революционным изобретением вавилонян была система представления чисел, больших 59. Можно было поступить как египтяне – то есть начать создавать новые символы. Но у вавилонян появилась другая идея: что значение символа может изменяться в зависимости от его положения относительно других символов. В нашей нынешней системе в числе 111 повторяется три раза один и тот же символ, и прелесть этого обозначения состоит в том, что, если читать это число справа налево, первый символ 1 обозначает единицу, второй – десяток, а третий – сотню. Каждый раз, когда мы добавляем слева еще один символ, его значение увеличивается в десять раз.

Однако система счисления вавилонян была не десятичной, а шестидесятеричной. Поэтому при каждом смещении на шаг влево значение увеличивалось на число, кратное 60. Например, число 111 в вавилонской системе было бы равно 1 × 602 + 1 × 60 + 1 = 3661. Этот шорткат был исключительно полезным. При помощи всего двух символов,  и , можно было выразить сколь угодно большое число. Но не любое число. Для этого нужен был еще один символ. Что делать, если нужно было записать число 3601? Требовалось показать, что в разряде шестидесяти ничего нет. Нужен был символ для пустого места. В вавилонской клинописи отсутствие какой-либо степени 60 обозначалось двумя маленькими насечками: .

Этот шорткат к записи больших чисел открыли и майя. У них уже был символ для обозначения числа 5. Линия. Три линии могли обозначать 15. Три линии и четыре точки – 19. Но затем майя решили, что записи становятся слишком громоздкими. Поэтому символы, стоящие у них в следующих позициях, стали обозначать степени двадцати. Так, число 111 в системе счисления майя обозначает 1 × 202 + 1 × 20 + 1 = 421. Вскоре и они поняли, что в некоторых местах требуется символ, обозначающий пустое место, и выбрали для этого изображение ракушки.

Майя были великими астрономами и регистрировали огромные промежутки времени. Рациональная система счисления, основанная на положении символов, позволила им оперировать астрономически большими числами, не создавая огромных списков символов.

Однако в обеих системах, и у вавилонян, и у майя, не хватало одного элемента – символа, обозначающего ничто. Этот революционный шаг сделала третья культура, изобретшая позиционную систему счисления, – индийцы.

Цифры, которые служат нам сегодня, мы часто называем арабскими, но это название ошибочно. Во всяком случае, оно не рассказывает всей их истории. Арабы, привезшие эту систему в Европу, научились ей у индийских писцов. На самом деле цифры следовало бы называть индо-арабскими. Индийская система счисления использует символы от 1 до 9, причем при каждом шаге влево значение цифры увеличивается в 10 раз. В этой системе есть и символ,