Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

В этот момент и началась математика. Это искусство распознавания паттернов, лежащих в основе бесконечного количества таких уравнений. Паттерн показывает, что требуется не потенциально бесконечная работа, а, по сути дела, всего одна операция. Выучивший алгоритм или формулу решения уравнения получает в свое распоряжение шорткат к решению бесконечно многих разных уравнений. Рождение математики в вавилонскую эпоху показывает, почему математику и в самом деле можно назвать искусством шортката.

Но позволяет ли этот шорткат решить все квадратные уравнения?

Как насчет решения уравнения x2 = –4? На протяжении многих столетий считалось, что у этого уравнения нет решений. Числа, которые мы используем для подсчета предметов, обладают тем свойством, что их возведение в квадрат всегда дает число положительное. Вавилонский алгоритм – или вавилонская формула – не помогает решить это уравнение, потому что для этого требовалось бы понять, что такое квадратный корень из –4.

Но в середине XVI века произошло одно довольно странное событие. В 1551 году итальянский математик Рафаэль Бомбелли работал над проектом осушения болот в долине Кьяна, относившейся тогда к Папской области. Все шло хорошо, пока работы внезапно не пришлось приостановить. Поскольку Бомбелли было нечем заняться, он решил написать книгу по алгебре. Его увлекли новые интересные формулы для решения уравнений, о которых он прочитал в книге другого итальянского математика, Джироламо Кардано.

Вавилоняне придумали формулу для решения квадратных уравнений. Но как быть с уравнениями кубическими, например, x3 – 15x – 4 = 0? Несколькими десятилетиями раньше многие математики заявляли, что нашли формулы для их решения. В то время математики не публиковали статьи в научных журналах, а сходились друг с другом в математических поединках – публичных диспутах. Я так и вижу эту великолепную картину: как субботним утром на городской площади собираются шумные фанаты местного математика, чтобы поддержать его в очередной схватке ученых. Формула одного из математиков явно превосходила своими достоинствами все то, что предлагали остальные. Этого единоборца от математики звали Никколо Фонтана, но более известно было его прозвище – Тарталья[27]. Ему, понятно, не хотелось раскрывать секрет своего успеха, но в конце концов Кардано уговорил его поделиться формулой при условии, что Кардано не будет ее разглашать.

Кардано держался несколько лет, но в конце концов не смог удержаться от искушения. Он напечатал формулу Тартальи во всей ее славе в своей знаменитой книге Ars Magna[28], вышедшей в свет в 1545 году. Когда Бомбелли прочитал книгу Кардано и применил пресловутую формулу к уравнению x3 – 15x – 4 = 0, произошло нечто довольно странное. В некоторый момент формула требовала извлечения квадратного корня из –121. Бомбелли мог извлечь квадратный корень из 121. В этом не было ничего сложного – он равен 11. Но что такое квадратный корень из –121?

У математиков и раньше возникала эта странная потребность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, но обычно, дойдя до этого места, они отступали. Кардано столкнулся с той же проблемой и бросил вычисления. Считалось, что таких чисел не бывает. Но Бомбелли оказался не робкого десятка. Он продолжил работу с формулой, приведенной в книге Кардано, просто оставив в ней это странное несуществующее, мнимое число. Затем числа как бы по волшебству взаимно сократились, и он получил решение: x = 4. И действительно, когда он подставил это решение в исходное уравнение, оно оказалось верным.

Чтобы добраться до пункта назначения – решения x = 4, – Бомбелли пришлось пересечь мир мнимых чисел. Он как бы прошел сквозь некое волшебное зеркало и обнаружил за ним новую страну, путь через которую вел к другому порталу, позволявшему вернуться в мир нормальных чисел и добраться до желанной цели. Но пути к решению, не проходившего через этот воображаемый мир, не существовало. Бомбелли начал подозревать, что речь идет не просто об искусственном приеме; что, может быть, такие числа, находящиеся по ту сторону зеркала, все же действительно существуют. Просто математикам нужно достаточно смелости, чтобы допустить их в мир чисел.

Работа, которую опубликовал Бомбелли, привела к открытию мнимых чисел. Первое из таких чисел, квадратный корень из –1, в конце концов получило особое обозначение – i. Буква i обозначает слово imaginaire – воображаемый, мнимый; это пренебрежительное название ввел несколько лет спустя французский философ и математик Рене Декарт, не питавший к этим странным неуловимым числам никаких теплых чувств.

И все же Бомбелли открыл их могущество. В его книге был приведен полный анализ способов обращения с мнимыми числами. При решении таких кубических уравнений те, кто был готов пройти сквозь зеркало в мир мнимых чисел, мог воспользоваться шорткатом к ответу. В конце концов математики начали называть такие числа компле́ксными, в отличие от чисел вещественных, известных всем нам с самого детства[29].

Настойчивость Бомбелли произвела большое впечатление на Лейбница, назвавшего его выдающимся мастером аналитического искусства: «Итак, некий инженер, Бомбелли, находит практическое применение комплексным числам – возможно, потому что они позволили ему добиться полезных результатов, – в то время как Кардано считал квадратные корни из отрицательных чисел бесполезными. Бомбелли первым дал описание каких бы то ни было комплексных чисел… Его изложение законов вычисления комплексных чисел отличается замечательной доскональностью».

На протяжении целых столетий математики продолжали относиться к этим числам чрезвычайно подозрительно. Если вам нужен квадратный корень из 2, это число, хотя его представление в виде десятичной дроби и бесконечно, можно найти на линейке. Оно расположено где-то между 1,4 и 1,5. Но где находится квадратный корень из –1? На линейке его не увидишь. В конце концов способ, позволяющий увидеть комплексные числа, придумал мой герой – Карл Фридрих Гаусс.

До Гаусса числа, которые использовали математики, изображали отметками на горизонтальной прямой: отрицательные числа отсчитывались влево, положительные – вправо. Гаусс принял гениальное решение пойти в новом направлении. Новые числа стали отсчитываться по вертикали. В представлении Гаусса числа стали не одно-, а двумерными. Его новая карта чисел оказалась чрезвычайно продуктивной. Ее геометрия отражала алгебраический характер поведения этих чисел. Как я объясню в главе 5, хороший чертеж бывает поразительно действенным шорткатом к объяснению сложных идей.

Гаусс изобрел это графическое представление комплексных чисел в процессе поисков доказательства одного поразительного их свойства. Если взять любое уравнение, каким бы сложным оно ни было, состоящее из разных степеней х, не только кубов, для нахождения его корней всегда