Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра - Борис Розенфельд

С локальным изоморфизмом компактных групп классов A3 и D3 cвязана интерпретация Н.Д.Пецко 3-мерного комплексного эрмитова эллиптического пространства в 5-мерном вещественном эллиптическом пространстве при которой точки каждого из этих пространств изображаются паратактическими конгруэнциями прямых линий другого пространства.

С локальным изоморфизмом расщепленных групп классов A3 и D3 cвязана интерпретация Ю.Плюккера 3-мерного вещественного проективного пространства в 5-мерном вещественном псевдо­эллиптическом пространстве индекса 3, при которой прямые линии 3- мерного пространства изображаются точками абсолюта 5-мерного пространства.

10) С локальным изоморфизмом некомпактных вещественных групп классов A3 и D3 связана интерпретация Р. Пенроуза 4-мерного псевдоконформного пространства индекса 1, в 3-мерном комплексном эрмитовом псевдоэллиптическом пространстве индекса 2, при которой точки псевдоконформного пространства изображаются прямолинейными образующими абсолюта комплексного пространства.

При этих интерпретациях образы симметри и параболические образы одного пространства изображаются такими же образами другого пространства.

Особые простые группы Ли

Алгебра альтернионов не является единственным обобщением тела кватернионов, другим обобщением является алгебра О октонионов или октав. Базис этой алгебры состоит из 8 элементов 1, i, j, k, l, p, q, r, причем элементы 1, i, j, k, элементы 1, k, p, q, элементы 1, q, r, i, элементы 1,i, l,p, элементы 1, k,, l, r, элементы 1, q, l, j и элементы 1, j, p, r образуют базисы алгебр кватернионов. Алгебра октонионов является телом, но не ассоциативным, так как (ij)l= -i(jl). Это тело является альтернативным, т.е. любые два элемента этого тела порождают ассоциативное подтело (тело H или поле C).

Аналогично определяется алгебра O' псевдооктонионов - алгера с базисом 1, i, j, k, e, f, q, h, последние 4 из которых можно рассматривать как произведение базисных элементов l, p, q, r aлгебры О на мнимую единицу, коммутурующую с элементами алгебры О. Алгебра O' является альтернативной алгеброй с делителями нуля.

Группы автоморфизмов тела О и алгебры O' являются, соответственно, компактной и расщепленной простыми гуппами Ли класса G2. Если ввести в алгебры О и O' метрики 8-мерных вещественных евклидова пространства и псевдоевклидова пространства индекса 4, в которых расстояние между элементами a и b равно модулю элемента b-a, то группы Ли автоморфизмов алгебр О и О' будут транзитивными на пересечениях гиперсфер, центрами которых являются нулевые элементы алгебр, с диаметральными гиперплоскостями этих гиперсфер ортогональными элементу 1.

Если отождествить диаметральнопротивоположные точки, полученных 6-мерных сфер, мы получим 6-мерные G-эллиптическое, G- псевдоэллиптическое и G-псевдогиперболическе пространства, группами преобразований являются компактная и расщепленная простые группы Ли класса G2. Эти пространства обладают почти комплексной или почти двойной структурой, т.е. касательные гиперплоскости этих гиперсфер обладают комплексной или двойной структурой, но в самих 6-мерных пространствах нельзя ввести комплексные или двойные координаты.

Геометрия этих пространств изучалась моими ученицами Н.Н.Адамушко и Р.Г.Тлуповой.

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса F4 имеют характеры, соответственно, -52 и 4. Имеется еще одна некомпактная вещественная простая группа Ли этого класса с характером -2.

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса Е6 имеют характеры, соответственно, -78 и 6. Имеются еще три некомпактные вещественные простаыегруппы Ли этого класса с характерами -26, -14, и 2

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса Е7 имеют характеры, соответственно, -133 и 7. Имеются еще две некомпактные вещественные простаые группы Ли этого класса с характерами - 25 и - 5.

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса Е8 имеют характеры, соответственно, -248 и 8. Имеется еще одна некомпактная вещественная простая группя Ли этого класса с характером - 24.

Геометрия особых простых групп Ли

Фрейденталь в 1951 г. в статье "Октонионы, особые группы и октонионная геометрия" доказал, что компактная простая группа Ли класса F4 локально изоморфна группе движений 2-мерной октонионной эрмитовой эллиптической плоскости, а некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е6 с характером -26 локально изоморфна группе проективных преобразований 2-мерной октонионной проективной плоскости.Так как тело

О неассоциативно и следовательно произведение (ха)Ь не равно х(аЬ), точки октонионной проективной плоскости нельзя определить тремя октонионными координатами с точностью до прабого октонионного множителя. Поэтому Фрейденталь определял точки рассматриваемых им плоскостей октонионными эрмитово симметричными матрицами 3-го порядка, удовлетворяющими некоторым условиям, при которых эти матрицы определяются с точностью до вещественного множителя. Условия, наложенные Фрейденталем на эти октонионные матрицы 3-го порядка равносильны тому, что все элементы этих матриц принадлежат к одному ассоциативному подтелу тела О.

Ознакомившись с этой работой Фрейденталя, я определил на октонионной проективной плоскости О-пары, состоящие из точек и прямых, ввел в многообразие этих О-пар метрику аналогичную метрике вмногообразии О-пар вещественного проективного пространства, и доказал, что полученное метрическое пространство изометрично эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C' и О, группа движений которой изоморфна некомпактной группе класса Е6 с характером -26. Отсюда я сделал вывод, что компактная группа класса Е6 изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О.

Из того, что все элементы матриц Фрейденталя принадлежат к одному ассоциативному подтелу тела О следует, что каждая точка октонионной проективной плоскости, а значит. и каждая точка проективной плоскости надтензорным произведением алгебр C и О, может быть определена тремя координатами из алгебры О или тензорного произведения алгебр C и О, принадлежащими к одной ассоциативной подалгебре этих алгебр и определенными с точностью до правого сомножителя из той же ассоциативной подалгебры.

Представление компактной группы класса Е6 в виде эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О обобщается на компактные группы классов Е7 и Е8, которые можно представить, соответственно, в виде групп движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорным произведением алгебр H и О и над тензорным произведением двух алгебр О. Я высказал предположение об этом факте в 1956 г., на основании того, что, как указал Э.Картан, компактные группы классов Е7 и Е8 являются группами движений симметрических римановых пространств размерности 64 и 128. Мое предположение было доказано Э.Б.Винбергом в 1964 г.