Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра - Борис Розенфельд

Параболические образы

В пространствах, группы движений которых - простые группы Ли, я находил параболические образы, определяемые параболическими подгруппами группы движений пространтва, т.е. подгруппами, содержащими максимальную разрешимую подгруппу группы движений, называемую подгруппой А.Бореля. Всякая параболическая подгруппа определяется одним или несколькими простыми корневыми векторами группы Ли. В случае, когда параболическая подгруппа определяется одним простым корневым вектором, пораболический образ называется фундаментальным. Все параболические образы вещественны в случае расщепленных групп, все эти образы мнимы в случае компактных групп. Эти образы могут быть вещественными, мнимыми и комплексно сопряженными в случае некомпактных нерасщепленных групп.

Параболические образы изучались И.М.Гельфандом и его сотрудниками и Хариш-Чандрой в связи с теорией унитарных представлений некомпактных простых групп Ли.

Фундаментальные параболические образы связаны с фундаментальными линейными представлениями простых групп Ли, определенными Э.Картаном в 1913 г. Эти образы изучались Жаком Титсом, который называл их фундаментальными элементами.

Фундаментальными параболическими образами в случае n-мерного вещественного проективного пространства являются m-мерные плоскости (при m=0 точки, при m = 1 прямые линии, при m= n-1 - гиперплоскости).

Фундаментальными параболическими образами в случае 2n-мерных и (2n-1) -мерных вещественных неевклидовых пространств являются m-мерные плоские образующие абсолюта (при m=0 точки, при m = 1 прямолинейные образующие). Плоские образующие максимальной размерности абсолютов этих пространств (n-1) -мерны, эти плоские образующие составляют одно связное семейство в 2n-мерном пространстве и два связных семейства в (2n-1) -мерном пространстве. В последнем случае (n-2) -мерные плоские образующие - параболические образы не являющиеся фундаментальными. Плоские образующие максимальной размерности абсолютов вещественных неевклидовых пространств связаны со спинорными представлениями групп движений этих пространств.

Фундаментальными параболическими образами в случае (2n-1)- мерного вещественного симплектического пространства являются точки и m-мерные нуль-плоскости (при m = 1 нуль-прямые). Нуль-прямые вещественного симплектического пространства образуют абсолютный линейный комплекс этого пространства.

Фундаментальные параболические образы комплексных и кватернионных проективных и эрмитовых неевклидовых и симплектических пространств аналогичны параболическим образам вещественных пространств. Параболическими образами конформных и псевдоконформных пространств являются их точки и m-мерные изотропные плоскости, при m = 1 - изотропные прямые.

Фундаментальные параболические образы пространств, фундаментальными грппами которых являются простые группы Ли, изображаются точками диаграмм Дынкина и Сатаке. В последнем случяе черные точки диаграмм Сатаке изображают вещественные образы, белые точки - мнимые образы, а белые точки, соединенные дугами с двумя стрелками, - комплексно сопряженные образы.

Со всяким параболическим образом связано представление фундаментальной группы пространства в виде прямой суммы 2k+1 линейных подпространств J + K+... + L. Подпространства J и L этой прямой суммы являются элластичными алгебрами, определенными И.Л.Кантором. В случае k =1 aлгебры J и L являются йордановыми алгебрами М.А.Джавадов и И.И.Колокольцева доказали, что спонорные предстаавлениягрупп движений неевклидобых пространств изображаются дробно-линейными преобра­зованиями этих йордановых алгебр.

Геометрические интерпретации, связанные с изоморфизмами простых и полупростых групп Ли

Упомянутые выше изоморфизмы простых и полупростых групп Ли ранга 1, 2 и3 определяют изоморфизмы вещественных простых и полупростых групп Ли с теми же рангами. С этими изоморфизмами вещественных групп Ли связаны геометрические интерпретации однородных пространств, фундаментальными группами которых являются эти группы Ли.

1) С локальным изоморфизмом компактных групп классов A1 и B1 связана изометричность комплексной эрмитовой эллиптической прямой линии кривизны 1/r2 и сферы радиуса r/2 3-мерного евклидова пространства.

С локальным изоморфизмом расщепленных групп классов A1 и B1 связана интерпретация О.Гессе плоскости Лобачевского на вещественной проективной прямой, при которой точки проективной прямой изображаются точками абсолюта плоскости Лобачевского, а пара точек проективной прямой - прямыми линиями плоскости Лобачевского.

С локальным изоморфизмом компактной группы класса D2 и прямого произведения двух компактнх групп класса А связана интерпретация А.П.Котельникова многообразия прямых линий 3-мерного вещественного эллиптического пространства на сфере двойного 3-мерного евклидова пространства, при которой пара полярно сопряженных прямых линий эллиптического пространства изображаются 4 точками пересечения сферы двойного пространства с диаметральными прямыми этой сферы.

С локальным изоморфизмом некомпактной группы класса D2 и комплексной группы класса A1 связана интерпретация А.П.Котельникова многообразия прямых линий 3-мерного пространства Лобачевского на сфере 3-мерного комплексного евклидова пространства, при которой прямые линии пространства Лобачевского изображаются парами диаметрально противоположных точек сферы комплексного пространства.

С локальным изоморфизмом некомпактной вещественной группы класса D2 и прямого произведения некомпактной и расщепленной групп класса A1 связана интерпретация Л.В.Румянцевой кватернионной симплектической прямой линии на паре комплексных эрмитовых прямых линий, эллиптической и гиперболической, при которой точки кватернионной прямой линии изображаются парами точек комплексных прямых линий, по одной точке на каждой линии.

С локальным изоморфизмом компактных групп классов B2 и C2 связана изометричность кватернионной эрмитовой эллиптической прямой линии кривизны 1/r2 и сферы радиуса r/2 5-мерного евклидова пространства.

С локальным изоморфизмом расщепленных групп классов B2 и C2 связана интерпретация 4-мерного вещественного псевдоэллиптического пространства индекса 2 в 3-мерном вещественном симплектическом пространстве, при которой 2-мерные плоские образующие абсолюта псевдоэллиптического пространства изображаются нуль-прямыми симплектического пространства.

С локальным изоморфизмом компактных групп классов A3 и D3 cвязана интерпретация Н.Д.Пецко 3-мерного комплексного эрмитова эллиптического пространства в 5-мерном вещественном эллиптическом пространстве при которой точки каждого из этих пространств изображаются паратактическими конгруэнциями прямых линий другого пространства.