(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

сказав: «Ты проделал отличную работу, и я хочу услышать, что происходило в твоем мозгу». Сначала Альфонсо пришибленно ответил «неважно», но Карлос упорно продолжал объяснять, что ход мыслей Альфонсо очень важен и если он сможет объяснить, что было неверно, то тем самым продвинет вперед весь класс.

В такие моменты Карлос доносил до учеников одну важную вещь. Он относился к ошибке точно так же, как к верной работе: выражал интерес к математическому рассуждению, спрашивал, почему оно неправильное, исследовал этот математический процесс и придавал ему важность. Он также постарался похвалить Альфонсо. Такой способ оценить ученика и его математическое мышление – важный момент урока. Альфонсо отреагировал на поощрительные слова Карлоса и верно объяснил, что считал тройками, и нарисовал прямоугольник, площадь которого равна 12 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Исправленный прямоугольник Альфонсо.

Позже Карлос пояснил мне, что оба школьника, выступавшие первыми, относились к числу нуждавшихся в особом образовательном подходе, и он пришел в восторг от проявленной ими смелости. Он отметил, что в те первые минуты главное, что требовалось от него как учителя, – защитить их и оценить их математическое мышление, вне зависимости от того, правильное оно или нет.

Не менее важным было и продолжение занятия, поскольку Карлос предложил шестиклассникам рассказать о своих методах нахождения двенадцати квадратиков. Несколько школьников сказали, что для получения двенадцати используют умножение, и на большинстве уроков на этом разговор бы и закончился. Однако Карлос задержался на этой математической операции, спросив: «Почему?» Некоторые ученики ответили, что умножение применяется потому, что оно быстрее, или потому, что оно дает ответ. Это не удовлетворило преподавателя, поскольку он желал, чтобы ученики концентрировались на математическом процессе. В ходе обсуждения Карлос семь раз задавал классу вопрос «почему?», пока один из школьников в конце концов не объяснил, что «каждый ряд – это группа из трех квадратов, а всего рядов четыре». В эти моменты Карлос демонстрировал, что ему важен математический процесс и понимание того, почему он работает, и что ученикам отводится важная роль – искать более глубокий смысл. Вопрос «почему?» – один из тех, что все мы можем применять при взаимодействии с другими людьми.

Гектор проиллюстрировал процесс умножения, обведя части прямоугольника, соответствующие нужным числам (рис. 2.3), и Карлос похвалил его, сказав, что такое объяснение и кодирование помогло людям увидеть ход мыслей друг друга.

Рис. 2.3. Объяснение Гектора, откуда взялось число 12.

Затем Карлос рассказал о важности такого кодирования, сказав, что его используют технические писатели[15], а «технические писатели – это люди, которые хорошо зарабатывают».

Карлос закончил урок ободряющими словами: «Мы будем решать много задач на площадь. Если вы освоили этот материал, вы в отличной форме. Если пока не разобрались, это не значит, что вы какие-то не такие. Не нужно паниковать или нервничать, просто продолжайте работать с заданиями подобного рода, и когда-нибудь все получится».

Тем самым Карлос просил учеников вспомнить ту математику, с которой они только что имели дело – нахождение площади с помощью мультипликативного мышления, – в простой, но содержательной форме, одновременно давая понять ученикам, что им необходимо знать этот материал, но если у них пока есть проблемы, это нормально, поскольку возможности потренироваться у них еще будут.

Таким образом Карлос предложил ученикам перейти от аддитивного мышления (сложение) к мультипликативному (умножение), что является важным математическим процессом. Для этого он задействовал восемь различных типов метакогнитивного мышления. Он попросил учеников уважительно слушать, высказывать вслух, заранее продумывать то, что выступающий собирается сказать, рассматривать различные стратегии, осознавать ценность ошибок, размышлять, почему методы работают, обращать внимание на цветовое кодирование и «технические чертежи», а также возвращаться к уже пройденному материалу. На протяжении всего этого обсуждения Карлос находился в той же части помещения, что и школьники, – чтобы показать ученикам, что они должны обмениваться идеями друг с другом, а не только с Карлосом.

Развитие метакогнитивного мышления у вас или ваших учеников – важный шаг на пути к формированию математического образа мышления, открытости к рефлексии и разнообразию. Родители, учителя и люди, совместно решающие задачи, могут организовывать подобные беседы, поощряя метакогнитивное мышление у других людей. Ключевым приглашением – другим или себе – является вопрос «почему?». Когда люди задумываются о том, почему они выбрали тот или иной метод, или почему данный метод или правило работает, или почему они выбрали конкретную бизнес-стратегию, они погружаются в более глубокую, более рефлексивную зону мышления.

Для учителей особенно ценны обсуждения всем классом – они поощряют и подчеркивают метакогнитивные действия и стратегии для всех без исключения.

Шестиклассники Карлоса добились очень высоких результатов в будущем: они получили серьезную работу и поступили в различные колледжи, включая Стэнфорд и Калифорнийский университет. Одна ученица, будучи одиннадцатиклассницей, даже заняла место в школьном совете, а впоследствии стала членом Совета по образованию штата Калифорния.

Поощряйте метапознание с помощью восьми математических стратегий

Возможно, самыми важными инструментами в арсенале метакогнитивных личностей являются стратегии, которые применяются при решении математических задач. В ряде исследований подчеркивается, что они зачастую определяют разницу между теми, кто счастливо изучают математику и добились успехов в целом, и менее успешными людьми63. Я считаю многие из этих стратегий суперсилами, поскольку они позволяют людям быть счастливыми, хотя и не особо известны.

1. Сделайте шаг назад

Первая стратегия, полезная во всех сферах, заключается в том, чтобы сделать шаг назад и поразмыслить, что эта проблема от вас требует. Это может показаться очевидным, но большинство людей при чтении вопросов и задач по математике полагают, что нужно либо отвечать сразу, либо сдаваться. Когда ученики Карлоса Кабаны обращаются к нему за помощью, не зная, как подступиться к какой-нибудь задаче, он просит их озвучить проблему.

«О чем спрашивается в этой задаче? Скажите это вслух».

Когда после этого школьники озвучивают проблему, они нередко сразу же добавляют: «О, я знаю, что делать», словно повторение вопроса вслух запускает математическое мышление. Это одна из причин, почему важна совместная работа учащихся в группах: они получают возможность описывать проблемы и обсуждать их друг с другом.

Хорошо бы задать и следующее: «О чем этот вопрос?» Это шире и приглашает к метакогнитивному мышлению.

Я знаю, что распространенная стратегия обучения – учить школьников обращать внимание на ключевые слова при решении математических задач. Например, преподаватели предлагают ученикам искать в математических задачах слово «еще», наводящее на сложение чисел, а, допустим, глаголы «разложить», «разрезать» ассоциируются с делением.

Я вовсе не считаю, что ключевые слова продуктивны, и вот почему: на самом деле нам нужно, чтобы ученики понимали смысл задач и задумывались: «О чем меня здесь спрашивают?» Когда школьники сосредоточены на поиске ключевых слов, они не замечают общую картину и упускают общий смысл; ровно наоборот: они надеются, что ключевое слово подтолкнет их к использованию конкретного правила или метода. Такой подход не только приводит к неправильным ответам, но и способствует тому, что учащиеся не обращают внимания на смысл вопросов.

2. Изобразите проблему

Эту стратегию я использую для математических заданий и не могу не отметить ценность данного подхода. Как будет описано в главе 5, исследователи обнаружили, что основное отличие в мозговой активности математиков по сравнению с другими учеными связано с задействованием зрительной коры мозга – и это не зависит от характера математического материала64. Если попросить людей изобразить какую-нибудь арифметическую задачу, это вызовет активность в зрительных областях мозга, а также запустит важную связь между числовыми и зрительными областями. Это приводит к совершенно иному способу восприятия и понимания задачи, что крайне важно.

3. Найдите новый подход

Третья стратегия заключается в том, чтобы попросить людей придумать альтернативный подход к поиску ответа.

Я обнаружила, что эта стратегия особенно эффективна в работе