(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Учитесь любить трудности

За последние десять лет я получила сотни писем от родителей, которые просили дать советы, как изучать математику их детям. Ответить на все невозможно, хотя я и стараюсь. Мое внимание привлекло одно из последних писем. Отец студентки Стэнфордского университета просил помочь дочери. Джулия поступила в Стэнфорд десять лет назад, но из-за серьезной болезни пропустила много месяцев. Он рассказал мне, что она ненавидит математику, сильно нервничает из-за нее, а курс статистики стал камнем преткновения для получения диплома по английской литературе. Идет самое начало четверти, и Джулия уже считает материал «непостижимым», а с учетом проблем со здоровьем этот курс, по словам отца, грозит довести ее до «грани полного физического краха». Когда я встретилась с Джулией, она сразу впечатлила меня интеллектуальной любознательностью и воодушевлением, с которым говорила об английском языке. В то же время я поразилась ее глубокой печали, когда речь зашла о математике. Она не дружила с предметом еще со средней школы и считала, что никогда не сможет пройти курс статистики.

Я договорилась с одной из своих аспиранток Марджи Хан о занятиях с Джулией. Сначала Марджи рассказывала мне, что Джулия не справляется с университетскими тестами, но они не сдавались, решив бороться. В частности, каждую неделю они анализировали тесты, разбирая те вопросы, в которых Джулия допустила ошибку. Марджи помогала студентке взглянуть на идеи по-другому и найти новые подходы к вопросам – помимо тех, которые показывали на лекциях. Постепенно Джулия начала улучшать результаты. В конце четверти я получила радостное сообщение от Марджи, что ее подопечная только что получила на итоговом экзамене оценку А, – все были в восторге. Девушка окончила Стэнфорд и теперь учится в аспирантуре.

Почему произошла такая резкая перемена? Когда Джулия сосредоточилась на своих ошибках и задумалась о другом подходе к решению задач, стена между ней и математикой разрушилась, и процесс обучения сдвинулся с мертвой точки. Это стало возможным благодаря важному педагогическому подходу ее преподавателя – возвращению к тестам для переосмысления и переделки. В преподавании такое происходит не так часто, хотя ошибки – один из самых важных факторов в любом учебном процессе.

Я читаю в Стэнфорде курс для студентов под названием «Как изучать математику». Каждый год я демонстрирую учащимся один видеоролик с урока математики в японской средней школе и рассказываю им, что этот ролик взят из исследования, изучавшего методику преподавания за рубежом. Объектом наблюдения выбрали Японию, поскольку эта страна демонстрирует очень высокие достижения в математике87. Студенты всегда пребывают в восторге от этого видео. Что же там такое?

В японском классе примерно сорок учеников с разной степенью успеваемости. В начале урока учитель предлагает следующую задачу. Школьникам показывают участок земли, разделенный между двумя людьми. Ученики должны превратить эту границу в прямую, не изменив при этом количество земли у обоих владельцев. В этом вопросе нет числовых данных, и он сложен, поскольку участок имеет неправильную форму без прямых углов, которые значительно облегчили бы задачу деления пополам. Обычно мои студенты пробуют решать эту задачу до просмотра видео, но мало кто из них справляется с нею. Учитель в Японии дает своим ученикам время поработать над задачей в группах. Любопытно, что он также предоставляет им выбор: в процессе работы они могут либо обсудить проблему со своими друзьями, либо обратиться за помощью к учителю, либо получить карточки с подсказками.

Пока японский класс решает задачу, учитель передвигается по комнате и предлагает различным группам показать одноклассникам родившиеся идеи. В классе царит оживленная атмосфера: одни ученики стоят, другие сидят, в помещении много движения, разговоров и смеха.

В процессе общения со школьниками преподаватель улыбается и смеется, демонстрируя сложившиеся позитивные отношения. Взаимодействуя с друзьями в группах, почти все ученики улыбаются. И тут происходит событие, которое шокирует и восхищает моих студентов. Учитель просит одну группу школьников рассказать остальным об ошибке, которую они допустили. Ученики озадаченно смотрят на преподавателя и спрашивают: «Вы хотите, чтобы мы рассказали, что сделали неверно?» – «Да, – отвечает он. – Ошибки – вот что важно. Если бы люди их не делали, им незачем было бы ходить в школу». Это сильное заявление: преподаватель дает понять ученикам, что это естественная часть обучения и что он ценит неправильное решение настолько, что просит сообщить о нем всем ученикам, поскольку оно является источником продуктивного обучения для всех.

Урок продолжается: школьники весело и непринужденно делятся ошибками и решениями. Затем учитель расширяет исследование – наклеивает на доску несколько заготовленных фигур, предлагает дополнительные вопросы, просит учеников использовать свои знания о линиях и углах и поощряет их придумывать больше разных подходов.

Этот урок изумляет моих студентов по многим причинам. Первая – его исследовательский характер, особенно с учетом того, что многие студенты уверены, что в таких странах, как Япония и Китай, учеников натаскивают на применение фактов и правил. Вторая – использование преподавателем наглядных моделей, в том числе предварительно заготовленных картонных фигур (эту идею мы подробно рассмотрим в главе 5). Третья – отношение к ошибкам. Исследователи, изучавшие методы преподавания в других странах, также обнаружили кое-что, имеющее отношение к нам в США: в Японии школьники тратят 44 % своего времени на то, чтобы «изобретать, размышлять и биться над основными понятиями», в то время как у американских школьников на это уходит менее 1 % времени88.

Стив Олсон – превосходный популяризатор науки – изучал школьников разных стран, участвовавших в международной математической олимпиаде. Он пришел к следующему выводу о роли усилий и математического разнообразия в японской школе:

Учителя хотят, чтобы их ученики испытывали сложности с задачами, потому что считают, что именно так школьники начинают по-настоящему понимать математические концепции. Школы не делят учеников на группы по уровню способностей, потому что различия между учениками рассматриваются как полезный ресурс, который может расширить дискуссию. Не все школьники выносят с урока одно и то же… но каждый усвоит больше, если его заставят побороться с задачей, а не принудительно скормят ему простую, заранее разжеванную процедуру89.

В главе 1 я рассказывала о злодее – математическом складе ума. Напротив, бесспорно подтверждено, что все учащиеся находятся на пути роста и их мозг постоянно укрепляется, строит связи и увеличивается90. Кроме того, периоды борьбы, ошибок и неудач – это вовсе не признаки того, что человек слаб или плохо разбирается в предмете; наоборот, это признаки невероятной активности мозга.

Когда я общаюсь с учениками, будь то школьники средних и старших классов в математических лагерях или студенты в Стэнфорде, я говорю им: «Я даю вам сложные задания, потому что хочу, чтобы вы боролись. Я хочу, чтобы вы трудились, чтобы у вас была отличная тренировка для мозга». Это раскрепощает учащихся, и они более охотно проявляют настойчивость, зная, что не тратят время впустую, а самосовершенствуются. Я объясняю им, что обучение кажется трудным, потому что их мозг напряженно работает. С этим посылом связана одна важная вещь – постановка задач с «низким полом» и «высоким потолком» – то есть задач, заняться которыми может каждый, но которые при этом помогают подняться высоко. Кроме того, предлагаемые мною задания имеют несколько точек входа, включая визуальные аспекты, хорошо понятные учащимся. Они работают над сложными проблемами, зная, что могут добиться успеха, а это очень важно. В последние годы я слышала, что некоторые преподаватели предлагают ученикам прикладывать усилия и работать самостоятельно, без посторонней помощи, однако предлагаемые ими задачи – это типичные узкие математические вопросы. Учащиеся расстраиваются, не знают, как подступиться к ним, и учеба становится непродуктивной. Время борьбы с проблемами обретает продуктивность, если учащимся предлагают упражнения, которые воплощают математическое разнообразие и «ish-подход». В следующих главах этой книги вы найдете множество примеров заданий подобного рода.

Исследования в области ментальности показывают, что, когда