(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Великая теорема Ферма названа в честь французского математика Пьера де Ферма, который в XVII веке сделал смелое заявление, что уравнение an + bn = cn не имеет решений в виде целых чисел, когда n > 2. Последнее число, при котором решение возможно, – 2: 3² + 4² = 5². Он также написал на полях «Арифметики» Диофанта, что у него есть «поистине чудесное» доказательство этого факта, но не привел его. В результате ученые сотни лет пытались доказать это утверждение, и лишь спустя более 350 лет застенчивый английский математик Эндрю Уайлс справился с задачей. Примечательно, что Уайлс впервые столкнулся с Великой теоремой Ферма в возрасте десяти лет. Он так описывает момент знакомства:

Она выглядела такой простой, и все же великие умы в истории математики не смогли доказать ее. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от нее. Я должен был решить ее[26]122.

Спустя много лет, когда Уайлс защитил диссертацию и стал математиком, он всерьез занялся этой задачей. Годами исследовал и искал закономерности, пытаясь найти доказательство. И однажды – спустя семь лет – он вышел из своего кабинета и объявил жене, что добился успеха.

Свой результат математик обнародовал в Институте Исаака Ньютона в Кембридже. Из-за слухов о возможном доказательстве Великой теоремы Ферма в зале собралось более двухсот математиков и журналистов. Когда Уайлс закончил выступление, зал разразился аплодисментами. Однако через несколько недель выяснилось, что в работу закралась ошибка, так что математик вернулся в свой кабинет и провел там еще около года, прежде чем получил полное доказательство.

Эта история интересна сама по себе, но я люблю подчеркивать один из ее аспектов – тот факт, что ошибочные рассуждения, предлагавшиеся в качестве доказательства Великой теоремы Ферма, в итоге породили новые области математики, включая некоторые разделы алгебры. Как заметил писатель Питер Браун, «из руин этих неудач выросли глубокие теории, которые открыли новые обширные области математики»123.

История Великой теоремы Ферма действительно поражает школьников, которых мы обучаем в наших летних лагерях. Во-первых, они удивляются тому, что кто-то работал над математической проблемой более семи лет[27], формулировку которой они вполне могут понять. Это меняет их представления о времени, которое им «следует» тратить на решение задач. На них также производит впечатление тот факт, что из ошибки выросли новые и важные области математики; вся эта история помогает подчеркнуть ценность ошибок в нашем мышлении и открытиях.

Скомканная бумага

Примерно в 2013 году, когда МОДК (массовые открытые дистанционные курсы) обрели популярность, я начала сотрудничать с экспертом Себастьяном Труном, профессором информатики из Стэнфорда, который ранее руководил разработкой роботизированного автомобиля. Себастьян тогда как раз основал образовательную организацию Udacity, предлагающую онлайн-курсы для всех желающих. Поработав с Udacity, я создала собственные МОДК для учителей математики – в виде онлайн-курса в Стэнфорде124. У меня не было уверенности, что такой курс кого-нибудь заинтересует, и меня приятно удивило, что уже в течение первого лета его прослушали тридцать тысяч человек. В своем первом онлайн-курсе я рассказала о ценности ошибок и попросила участников придумать задание, которое помогало бы учащимся видеть их важность. Мне понравился вариант, присланный одной учительницей. Она предложила, чтобы ученики брали лист бумаги, сминали его с яростью и разочарованием, которые испытывают при трудностях, и швыряли бумагу в доску.

Затем учащимся предлагалось развернуть лист бумаги и раскрасить получившиеся линии: они демонстрируют рост мозга и построение связей в нем.

Выберите свою любимую ошибку

Я высоко ценю популярную среди учителей практику – выбрать «любимую ошибку» и рассказать о ней. Подобный метод позволяет не только продемонстрировать позитивное отношение к ошибкам, но и рассмотреть математические принципы, которые лежат в основе идей, изучаемых в классе или дома. Это полезно, поскольку область понимания любой математической задачи всегда выходит за рамки самого задания, и это важно учитывать.

Например, когда школьников просят сложить дроби 2/3 + 1/4, всегда найдутся несколько учеников, которые дадут ответ 3/7. Это ценная ошибка, которая вполне заслуживает обсуждения в классе. Если бы я вела такой урок, я бы начала со слов: «Это интересный пример, поскольку Надж сложил числители дробей, получив 3, и знаменатели, получив 7. О таком методе полезно поразмыслить. Однако другие ученики предложили ответ 11/12. В математике встречаются задачи, у которых есть несколько правильных ответов. Может быть, это одна из них? (Здесь я жду ответа школьников.) Если это не наш случай, то нам предстоит решить, какой ответ правильный и почему»125.

Во время подобных дискуссий классом управляет не учитель, который мог бы легко дать правильный ответ, а математика, поскольку школьников просят обосновать свой путь к полученному результату. Мне нравится, когда класс предлагает разные ответы на вопрос: это говорит о том, что мы столкнулись с интересной проблемой, где есть что обсудить. Когда я прошу учеников поделиться своими рассуждениями, я также приглашаю их выйти к доске и отстоять тот ответ, который они считают правильным, добавляя (как я надеюсь) наглядные примеры. Когда мы совместно приходим к выводу, что данный ответ правилен, я всегда отмечаю важность ошибочного ответа для развития нашего понимания.

Аналогичное упражнение, которое мне очень нравится, – предлагать школьникам работу якобы другого школьника (хотя на самом деле ошибочное решение придумываете вы сами) и просить учеников дать отзыв на нее. Всегда полезно потратить время на размышления о том, почему работает или не работает тот или иной подход к решению задач. Когда при изучении математики люди совершают ошибки, в их рассуждениях зачастую обнаруживается определенная логика, и очень важно обнаружить эту логику и уделить ей внимание.

Все это – примеры того, как можно обсуждать ошибки и нестандартные вещи, делая математику гораздо интереснее и разнообразнее.

Используйте видеоролики и статьи

На нашем сайте youcubed.org можно найти ресурсы, помогающие учащимся формировать позитивное отношение к борьбе и ошибкам. Среди них видеоролики126 и новостные статьи из журнала Science News127.

Ученые и педагоги уже давно осознали ценность борьбы и ошибок. Задолго до того, как неврологи продемонстрировали важность таких моментов для нашего мозга, швейцарский психолог Жан Пиаже (1896–1980) заявлял о ценности нахождения учеников в состоянии неравновесия, что-то вроде «когнитивного дисбаланса», что побуждает нас изменить свои модели обучения и перейти к состоянию равновесия128. Лев Выготский (1896–1934), еще один титан психологии и преподавания, уделял особое внимание тому, что он называл «зоной ближайшего развития», – пространству между тем, что учащиеся могут сделать без внешней помощи, и тем, на что они способны с помощью опытного наставника129. Оба психолога понимали, что те моменты, когда учащиеся находятся в состоянии неравновесия или нуждаются в помощи взрослых, и являются самыми важными для их обучения. Сегодня мы знаем, что наиболее полезным для деятельности и развития мозга является время, когда учащиеся прикладывают усилия и работают на грани понимания. Несмотря на все эти факты, ученики повсеместно нервничают из-за трудностей и ошибок, что негативно сказывается на их дальнейшей учебе.

Нам – как обществу, а не только в рамках школ – необходимо пересмотреть распространенный в нашей культуре страх перед ошибками и борьбой, поскольку и то и другое имеет огромную важность и ценность для развития знания и креативности мозга.

Возможно, прежде чем помогать учащимся с формированием позитивного настроя, взрослым нужно как следует провести работу над собой. Во-первых, следует отказаться от чрезмерной самокритики, если у нас что-то не получается. Нормальное отношение к неопределенности и усилиям позволяет нам комфортно взаимодействовать с другими людьми; при этом важной частью является демонстрация такой нормальности. В какой бы стадии