(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

методов, включенные в национальные стандарты и программы, безусловно, подходят под это описание. Когда книгоиздательские компании трансформируют эти стандарты в вопросы узких учебников, учащиеся начинают воспринимать числа как черствые жесткие факты, лишенные какого-либо культурного разнообразия или разнообразия вообще.

История чисел

Я оспариваю ту безжизненную и безличную версию чисел, с которой сталкиваются ученики, и один из способов для этого – рассказ о богатой культурной истории их развития.

Немногие школьники знакомятся с историей чисел, а зря.

Многие ученые сходятся во мнении, что первые количественные записи в мире появились в бразильской Амазонии140. На рисунках, созданных местными индейцами более десяти тысяч лет назад, имеются крестики, обозначающие дни, месяцы и другие циклы. Археологи обнаружили множество свидетельств того, что древние жители Бразилии уделяли внимание количеству, и теперь эти находки считаются первыми древними числовыми величинами.

В центральной Африке найдена кость, которая на протяжении многих поколений является предметом восхищения историков. Так называемая кость Ишанго имеет глубокое математическое значение; считается, что ее возраст – двадцать тысяч лет, а отметины на ней свидетельствуют о знании простых чисел и десятичной системы. Эти первые указания на важные элементы нашей системы счисления обнаружены на территории современной Демократической Республики Конго141.

Я предлагаю учащимся посмотреть на изображение кости, которое взято из замечательной книги Клаудии Заславски (рис. 4.1), и задаю такие вопросы: «Почему вы думаете, что на кости изображены цифры? Как вы думаете, для чего использовалась эта кость?» Это позволяет им глубже оценить разнообразие нашей математической истории и расширяет представление об ish-числах в мире[30].

Шумерская цивилизация – самая ранняя из цивилизаций Месопотамии (Междуречья), располагающаяся на территории современного Ирака. Позже там же жили вавилоняне; считается, что именно шумеры и вавилоняне впервые начали использовать алгебру142. Большинство найденных глиняных табличек с алгебраическими знаками датируются 1800–1600 годами до нашей эры. Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр», что означает «восстановление, восполнение». Если проследить развитие во времени, то окажется, что наша западная система счисления происходит от арабской, которая, в свою очередь, произошла от индийской. Именно ученые Индии придумали ноль. Одно из первых применений чисел – фиксация времени. Людей интересует, почему наша система определения времени использует 12 или 24 часа; ответ на этот вопрос отсылает нас к египтянам, которые более трех тысяч лет назад разработали солнечные часы. Решение разделить день на 12 единиц было обусловлено тенью, которую они видели на солнечных часах. Они выделили 10 единиц от восхода до заката, а затем добавили одну единицу для рассвета и еще одну для сумерек. Греческие астрономы официально кодифицировали такую систему в эллинистический период – около 323 года до нашей эры. Такое деление со временем сохранилось; вот почему у нас в сутках 24 часа.

Рис. 4.1. Две стороны кости Ишанго. К. Заславски. «Математические игры и занятия со всего мира» (Math Games and Activities from Around the World).

Перед нами лишь несколько примеров из истории чисел, с которой школьников зачастую не знакомят. Я же считаю, что они демонстрируют богатую культурную историю математики, которая удивительно разнообразна, охватывает весь мир и является частью каждой культуры.

Я думаю о математике как о линзе, через которую можно смотреть на мир; когда мы вооружаемся таким инструментом, мы видим гораздо больше, замечая закономерности и интересные взаимосвязи.

Притягательность закономерностей

Числа очаровывали меня всегда, и я уверена, что причина тому – мое раннее знакомство с числами как с визуальной и физической игровой площадкой. Я часами возилась с набором палочек Кюизенера, которые принесла мне мама: несмотря на внешнюю простоту, они обладают невероятной мощью (рис. 4.2). Десять цветных палочек обозначают числа от 1 до 10. Их изобретатель, бельгийский педагог Жорж Кюизенер, обратил внимание, что дети изучают музыку, используя клавиши инструментов. Он решил, что аналогичный сенсорный опыт позволит им понять отношения между числами143.

Если у вас есть маленькие дети, я советую вам купить набор палочек Кюизенера и просто выложить их на стол. Дети интуитивно начнут играть с ними, выстраивать и исследовать закономерности.

Рис. 4.2. Палочки Кюизенера.

В детстве я обожала эти цветные палочки и долгие часы раскладывала их разными способами, исследуя числовые закономерности. Когда я стала старше, у меня появился калькулятор, и я тратила много времени в школе (когда положено слушать учителей), вводя разные числа и применяя к ним различные операции, чтобы посмотреть, что с ними происходит. Я вела записи, и эта привычка сохранилась на всю жизнь. Мои детские блокноты часто содержали числовые закономерности, которые я продолжала исследовать целыми днями. Надеюсь, читатели не подумают, что я какой-то математический гений, которого с ранних лет тянуло к цифрам. Если что-нибудь и можно извлечь из этой истории, так это то, что я с раннего возраста научилась играть с числами; я умела воспринимать их визуально, физически и гибко; и благодаря этому у меня развился интерес к числам и восхищение ими.

Сейчас, будучи профессором в Стэнфорде, я восстановила связь со своей первой любовью: я предлагаю студентам изучать закономерности с помощью палочек Кюизенера.

Это занятие (как и многие другие, которые я высоко оцениваю и которыми мы делимся на нашем сайте youcubed) кажется простым – им может заниматься любой, включая маленьких детей, – однако оно выходит на весьма высокий уровень, который бросает вызов учащимся. В одном из моих любимых видеороликов моя студентка Ясмина Хан с помощью палочек Кюизенера дает наглядное доказательство одной сложной математической закономерности. В процессе доказательства она перемещает палочки, выделяя скрытое правило. Не будет преувеличением сказать, что, когда люди смотрят это видео, их изумляет и трогает замысловатость и красота той закономерности, которая появляется перед ними.

Людям действительно нравится смотреть этот ролик, и они спрашивают меня, можно ли посмотреть его еще раз и показать ученикам. Я люблю наблюдать за реакцией на наглядное доказательство Ясмины, ведь в эти моменты люди проявляют свою признательность, причем они признательны за нечто очень чистое – красивую, наглядную числовую закономерность, которая обеспечивает более глубокий смысл, нежели числа по отдельности.

Многие спрашивают, чем Ясмина занимается сейчас, предполагая, что она, возможно, трудится в сфере хайтека[31]. Ясмина работает в компании, занимающейся решением глобальных проблем[32]. Она говорит, что по-прежнему благодарна моим занятиям, поскольку они изменили ее ментальность и подход к математике; это помогло ей закончить «несколько курсов высшей математики (линейная алгебра, анализ функций нескольких переменных, теория вероятностей и статистика)» в Стэнфорде, что позволило добиться дальнейших успехов.

Очень важно обсуждать с людьми математику, которая имеет отношение к окружающему миру, однако я также знаю, что людей всех возрастов завораживают закономерности, связывающие числа. Дэвид Коулмен, руководитель Совета колледжей, подчеркивает важность чувства числа для учащихся, поступающих в колледж, и я твердо убеждена, что оптимальная база для чувства числа, которую мы можем дать любому человеку, начинается с приглашения поиграть с числами, понаблюдать за закономерностями и подойти к ним ish-способами. Этот опыт становится еще более значимым, когда числа обретают наглядность.

Брент Йорги – преподаватель математики и информатики в колледже Хендрикса. Когда я впервые увидела его визуализацию чисел, я была совершенно очарована144.

Мы с командой часто предлагаем учащимся и преподавателям рисунок 4.3 и просим их сначала написать соответствующее число рядом с каждым изображением, чтобы они могли увидеть это число и получить наглядное представление о его составе – о его делителях и связях с другими числами. Затем мы просим поискать интересные закономерности. Когда мы занимаемся этим в школе, ученики с восторгом рассказывают о различных замеченных ими схемах. Некоторые из них представлены