(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

• Все числа, кратные 3, имеют схожую структуру, которая указывает на их «тройственность» – все они включают треугольники.

• Все числа, кратные 7, имеют форму семиугольника.

• Все числа, кратные 6, обладают схожей формой.

• Простые числа (кроме 2) изображены в виде кругов.

Рис. 4.3. Визуальные представления чисел Брента Йорги.

Рис. 4.4. Числа, кратные 3.

Рис. 4.5. Числа, кратные 7.

Рис. 4.6. Числа, кратные 6.

Рис. 4.7. Простые числа.

Рис. 4.8. Число 2.

Большое впечатление произвел на меня учитель из Аризоны по имени Рэнди, который обратил внимание, что простые числа изображаются в виде кругов. Он страстно доказывал, что число 2 тоже можно считать кругом, и объяснял это, рисуя два круга на орбите (рис. 4.8).

Здесь Рэнди проявил математическую гибкость – важный творческий акт, который мы рассмотрим в главе 5.

Однажды я рассказала о такой визуализации чисел в одном из классов средней школы и попросила учеников поискать закономерности. Через несколько дней, когда я снова заглянула в эту школу, ко мне подошла одна из мам. Она взволнованно и воодушевленно спросила меня, что я сотворила с учениками, если ее дочь, ненавидевшая математику и не верившая, что эта наука ей может понравиться, изменила свое мнение. Я уже не раз наблюдала подобную реакцию; она происходит, когда люди осознают, что они могут «видеть» числа и играть с ними и что математика – творческая сфера. Когда учащиеся понимают, что числа – это не просто далекие жесткие факты, а классные милые персонажи, в их учебе все меняется.

Возможность просто поразвлечься с числами и числовыми закономерностями выходит за рамки стандартов, предусмотренных учебной программой. Поиграв с интересными числовыми закономерностями, люди начинают по-другому воспринимать числа и математику.

Числа всегда можно воспринимать визуально, и такая наглядность добавляет смысл. Помню, как я работала с группой учителей начальных классов, и одна из них радостно воскликнула, что не знала, что квадратные числа носят такое название, потому что их можно нарисовать в виде квадрата:

Рис. 4.9. Квадратные числа.

Визуально представлять квадратные числа гораздо выразительнее, чем использовать показатель степени и писать, например, 42. Людей зачастую шокирует и восхищает, когда мы рассказываем, что 4 – это квадратное число, потому что его можно нарисовать в виде квадрата 2 × 2, а 9 – следующее квадратное число, которое можно нарисовать в виде квадрата 3 × 3. На занятии я также сообщила той учительнице, что квадратные числа получаются в результате последовательного прибавления нечетных чисел, что можно увидеть на рисунке 4.10. В числовом виде это выглядит следующим образом:

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16 и так далее.

Рис. 4.10. Сложение последовательных нечетных чисел.

В тот день я также рассказала ей о треугольных числах – тех, которые можно изобразить точками, расположенными в виде треугольников (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Треугольные числа.

Я преподаю студентам в Стэнфорде уже много лет, и, несмотря на их многочисленные достижения в математике, большинство из них никогда не слышало о треугольных числах. Возможно, вы не сочтете это великой потерей для них: многие из этих студентов изменят мир благодаря своей работе в сфере образования, в благотворительных организациях, в компаниях, которые создадут и возглавят, в своих изобретениях; однако треугольные числа необходимы во многих областях математики, включая теорию вероятностей, алгебраические функции и т. д. Студенты изучали эти области, не прибегая к такому интересному представлению чисел. Конечно, это лишь симптом более серьезной проблемы – преподавание математики как предмета, жонглирующего символами и числами, лишенного математического разнообразия и радости. Когда мы предлагаем учащимся познакомиться с треугольными числами, узнать о визуальных представлениях и месте чисел в нашей истории и культуре, мы приглашаем их в важный мир числовых закономерностей и гибкости.

Ish-математика

Числа повсюду, и все мы используем их в той или иной степени каждый день. Однако в нашем повседневном употреблении чисел есть кое-что примечательное – то, что отличается от работы с ними в школе. Когда мы обращаемся к числам в жизни и на работе, они почти всегда являются приблизительными, и я называю их ish-числами. Для некоторых людей идея ish-чисел – ересь, поскольку они полагают, что числа всегда должны быть точными и правильными. Однако в жизни нам нужнее как раз ish-числа, и я считаю, что они могут изменить подход людей к математике, если мы включим их в учебный процесс. Вот несколько вопросов, на которые обычно отвечают с помощью ish-чисел:

• Сколько вам лет?

• Какую фазу луны можно увидеть сегодня ночью?

• Можно мне половинку этого печенья?

• Сколько времени ехать до аэропорта?

• Какая температура на улице?

• Какова площадь Соединенных Штатов?

• Длина Лондонского моста?

• Сколько муки используется в этом рецепте?

• Сколько краски купить, чтобы покрасить эту стену?

Это лишь несколько примеров задействования ish-чисел в повседневной жизни. Формы всегда идут с приставкой ish–, поскольку не существует идеальных кругов, треугольников или прямоугольников. Примеры ish-форм – кубики сахара, воздушные змеи, концентрические круги и пирамиды – показывают нам, насколько ish-подобны многие обычные формы.

Такие числа и фигуры встречаются повсеместно; мы видим их каждый день. Я рассказываю о них здесь не только потому, что они любопытны и интересны сами по себе, но и из-за их важности. Когда педагоги Великобритании захотели улучшить преподавание математики, они организовали комитет под руководством уважаемого педагога-математика сэра Уилфреда Кокрофта. Комитет особенно выделил важность оценивания, описав его следующим образом:

Промышленность и торговля в значительной степени зависят от умения оценивать. Здесь важны два аспекта. Первый – это способность судить, насколько разумен результат проведенного расчета или выполненного измерения. Это позволяет обнаруживать ошибки или избегать их; в качестве примера здесь можно привести ежемесячный счет, который заметно отличается от предыдущих, или отмеренную дозу лекарства, которая выглядит неправдоподобно большой или маленькой. Второе – это способность выносить субъективные суждения о различных показателях145.

Возможно, самая ценная математическая способность, которую может развить любой школьник или взрослый, – способность оценить, правдоподобен ли данный результат вычислений, однако большинство учащихся упускают это. Меня это не удивляет, поскольку во всем мире при обучении математике основной акцент делают на точность и аккуратность, а приблизительной оценке и ish-ности не уделяется должного внимания. Британский комитет отметил, что на работе люди «активно опираются» на способность давать оценку. Я сама много раз в жизни использовала свою способность оценить ответ при числовых вычислениях и решении других математических задач.

Сюзанна Даунс, преподаватель математики в международных школах, говорит:

Меня огорчает, что младшеклассники и старшеклассники, когда их просят разделить в уме 272 на 8, пытаются выполнить длинное деление, не чувствуя, имеет ответ смысл или нет. То же самое касается сложения и вычитания смешанных дробей. Когда их просят сложить 19¾ и 27⅓, многие ученики превращают оба числа в неправильные дроби с общим знаменателем. При этом они теряют бо́льшую часть смысла этих чисел. Может быть, мы недостаточно уделяем времени осознанному подходу к выполнению задач? Неужели не хватает времени, чтобы привить радость от чувства числа и логического мышления?

Не только Сюзанна озабочена тем, что ученики дают бессмысленные ответы, поскольку не обладают важной способностью, отмеченной британской комиссией, – умением прикинуть, каким должен быть ответ, то есть подобрать ish-число, помогающее