(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

вечера, пока я бодрствовала, я фиксировала взаимодействия с моей собакой – голдендудлем[37] Дейзи – и ее (иногда непочтительным) поведением. Обычно мы с ней вместе учимся.

Эти данные – за среду, 4 ноября 2020 года. Ниже вы найдете объяснения. Следует сказать, что порядок действий – от внешнего края лепестка внутрь.

Рис. 4.16. Наглядное представление данных о взаимодействии Киры с ее собакой Дейзи.

В первом разделе нашего бесплатного курса науки о данных учащимся предлагается собрать данные о собственной жизни и создать совместные наглядные материалы170. Ученики, участвовавшие в этом занятии, сказали, что впервые рассказывают о себе на уроке математики. Один из них решил проследить за своим питанием, в результате чего заметил, что ему необходимо есть больше здоровой пищи! Другой в течение двадцати четырех часов фиксировал действия своего хомяка с помощью диктофона на телефоне. Подростки кодировали музыку, которую слушали, языки, на которых разговаривали дома, и произнесенные ругательства, которые забавно иллюстрировали! Они отмечали, что благодаря личному отношению впервые ощутили связь с изучаемой математикой. Любой учитель может включить такой модуль в свою программу, чтобы ученики получили возможность обрабатывать данные и осмысленно изучать математику.

Учащиеся курса центра Youcubed знакомятся с данными, собирая сведения из своей повседневности. Далее они учатся работать с большими массивами данных, строить и использовать математические модели и овладевать навыками эффективного анализа. Студенты, проходившие курс, утверждают, что данная программа разительно отличается от их предыдущего взаимодействия с математикой – не по уровню строгости или сложности концепций, а по способам доступа и разнообразию идей, с которыми они сталкивались171. Ранее при изучении математики они сталкивались с правильными/неправильными ответами и точностью, что контрастирует с изучением науки о данных, которая, как правило, сильнее связана с использованием и интерпретацией широкого набора идей и интерпретацией ish-чисел. Все это – важные составляющие математического разнообразия. Математическое разнообразие позволяет учащимся добиться более глубокого понимания математики – даже таких традиционных областей, как алгебра. Это продемонстрировал эксперимент с учениками, проходившими курс алгебры 2 и/или курс науки о данных в нескольких школах. Мы просили участников рассмотреть взаимосвязь между различными переменными – суточным потреблением калорий, продолжительностью жизни и младенческой смертностью – и построить линейную модель для этих взаимосвязей. Такой материал мы выбрали потому, что он является центральным как для курсов алгебры, так и для курсов науки о данных. Школьники, занимавшиеся наукой о данных, показали значительно более высокие результаты, нежели те, кто изучал алгебру 2 (уровень значимости p составил менее 0,001). Последнее означает: вероятность, что такая большая разница между уровнями наблюдается случайно, не превосходит одной тысячной. Хотя ученики, изучавшие алгебру 2, должны уметь исследовать переменные и создавать линейные модели, они, похоже, продемонстрировали неспособность работать с реальными данными.

В начале главы я упоминала, как мы просили преподавателей колледжей выделить те области математики, которые важны для учащихся, поступающих в колледж. В тройку упомянутых ими областей вошла та, что была выбрана для приведенного выше эксперимента: работа с линейными зависимостями. Эта важная математическая концепция, показывающая, как переменные связаны друг с другом, преподается в рамках курсов науки о данных и алгебры и находит применение в жизни людей за пределами школ и университетов.

Линейная зависимость

Во время пандемии COVID–19 наши экраны заполонили линейные модели, которые демонстрировали, как распространяется вирус, какую опасность он представляет и как можно минимизировать его распространение с помощью вакцин.

Одни люди, знакомые с наукой о данных, хорошо понимали представленную информацию; многие другие испытывали проблемы и в результате неправильного понимания плохо подготовились к защите себя и своих близких. С помощью линейной зависимости выражается значительная часть информации: вероятно, она попадалась вам в данных о ставках по ипотечным кредитам, о здоровье и фитнесе, спорте, погоде и многом другом.

Говоря о линейной зависимости, нельзя не упомянуть об одной важной концепции, которую изучают на курсах науки о данных: разнице между корреляцией и причинно-следственной связью. На графике на рисунке 4.17 на одной оси показан объем продаж мороженого, а на другой – количество нападений акул.

Многие люди, взглянув на этот график, заметят корреляцию двух переменных и подумают, что изменение одной из них вызывает изменение другой, что означает причинно-следственную связь. Но на самом деле это кажущаяся связь, и она обусловлена третьей переменной – так называемой спутывающей (или спутывающим фактором). Возможно, вы уже сообразили, что это за переменная.

Рис. 4.17. Продажи мороженого и нападения акул.

Спутывающая переменная в данном случае – количество часов жаркой погоды. Чем ярче светит солнце, тем больше людей проводит время на пляже и купается в море; следовательно, растет и количество нападений акул. Одновременно в жаркую погоду растут и продажи мороженого. В результате две переменные – количество нападений акул и продажи мороженого – коррелируют, однако причиной для обеих является третий фактор – количество знойных часов.

Существует множество данных, которые с виду демонстрируют причинно-следственную связь, однако на самом деле их сходство обусловлено одной или несколькими спутывающими переменными. Тайлер Виген даже создал забавный сайт, где выкладывает такие «ложные корреляции»172. Одна из его корреляций – между потреблением сыра моцарелла и количеством ученых степеней в области гражданского строительства.

Рис. 4.18. Потребление сыра моцарелла и ученые степени инженеров. Министерство сельского хозяйства США и Национальный научный фонд; tylervigen.com.

Когда я показываю аудитории график на рисунке 4.18 и прошу объяснить его, слушатели предполагают, что инженеры, вероятно, ели много пиццы, когда писали диссертацию! На сайте не сообщается, что является спутывающей переменной; вероятно, хотят, чтобы мы продолжали гадать![38]

За годы бесед с различными преподавателями я обнаружила, что, когда люди привносят данные в свою жизнь и в свое преподавание, они начинают воспринимать их и математику более ish-ным образом, то есть эти вещи становятся доступнее и всеохватнее.

Бдительность в отношении данных

По мере того как исследование данных становится все более популярным явлением, распространяется и другое – количество дезинформации, и во многих случаях это приводит к серьезным последствиям173. Чтобы защитить себя и других от ложной информации, я рекомендую задаваться следующими важными вопросами каждый раз, когда вы видите данные или их визуальное представление:

• Кто подготовил эти данные? С какой целью?

• Все ли данные отображены? Если нет, то что пропущено?

• Являются ли оси/подписи разумными? Или они сделаны так, чтобы акцентировать на чем-то внимание?

• Какие взаимосвязи бросаются в глаза?

• Являются ли эти связи причинно-следственными, или величины просто коррелируют?

Если вы будете учитывать это в своей жизни, вы защитите себя от негодяев, которые пытаются ввести вас в заблуждение (включая банки и кредиторов), и будете эффективно использовать данные!

В этой главе мы обсудили математику в повседневной жизни, включая три математические идеи, которые, по мнению преподавателей колледжей, являются наиболее важными – чувство числа, грамотность данных и линейные взаимосвязи, – и то, как они выглядят при математическом разнообразии. В следующей главе мы рассмотрим эти идеи через новую линзу – это важная часть математического разнообразия.

5. Математика как зрительный опыт

Это было в 2016 году, через год после того, как мы провели первый летний лагерь Youcubed для группы учащихся средней школы в кампусе Стэнфорда. Мы знали, что после лагеря школьники продемонстрировали значительно более высокие результаты по математике, но хотели выяснить, сохранилось ли какое-либо долгосрочное влияние174. Мы приехали в школы к своим бывшим ученикам и побеседовали с ними. Школьники по-разному рассказывали о полученной помощи и о том, как осознание того, что к математике можно подходить по-разному, изменило их дальнейшую учебу.

Мне особенно запомнилось рассуждение, связанное с нашим заданием под названием «Раскрашенный куб»175. Ученикам показывали изображение куба размером 4 × 4 × 4 сантиметра,