(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

что пальцы обладают огромной ценностью, поскольку дают нам физическую модель числовой прямой. Доказательством этого утверждения служат другие исследования, показывающие, что ученики, которые используют числовые прямые, значительно улучшают свою успеваемость. В одном из исследований ученые отметили, что на первом году обучения у школьников наблюдались различия в понимании числа, связанные с семейным доходом (у учеников из менее обеспеченных семей чувство числа было слабее). После четырех 15-минутных занятий, заполненных играми с числовой прямой, эти различия полностью исчезли192.

Рис. 5.9. Дорожка чисел.

Числовая прямая изображает все числа, однако для маленьких детей это может представлять проблему, поскольку они могут попасть пальцем между целыми числами и не понять, что это означает. Показанная на рисунке 5.9 дорожка чисел – более удобный инструмент для развития мысленного представления чисел у начинающих.

В одном классе, где я недавно побывала, обнаружилась гигантская дорожка чисел, обвивающая стены, и ученики часто смотрели на нее и использовали ее при работе.

Школьники могут применять собственные пальцы для создания ментальной модели чисел. Ученики, использующие пальцы для рассмотрения чисел, выстраивают модель, которая окажется с ними на всю жизнь.

Мы еще только начинаем понимать, насколько важны визуальные и физические модели для понимания учащимися математики, и новые исследования в области нейронауки и образования должны иметь самый высокий приоритет.

Разнообразный подход к арифметическим операциям

Когда ученики знакомятся с числами, важно, чтобы они воспринимали их не только в визуальной и физической, но и в игровой форме. Противоположный подход – восприятие чисел и операций как набора чуждых правил, которым нужно следовать. Я собираюсь проиллюстрировать разницу между этими подходами на примере двух занятий, посвященных сложению чисел в пределах 20 – темы, которую в США изучают в первом классе. Один из этих уроков – пример узкой математики, другой – пример математического разнообразия и развития возможностей, позволяющий ученикам создавать ментальные модели.

Рис. 5.10. Подход в учебниках к сложению чисел.

Сложение чисел

Во многих учебниках, используемых повсеместно, математика сводится к серии вопросов на бланке, как показано на рисунке 5.10.

Рисунок 5.11 демонстрирует другой подход к изложению того же материала. Ученикам показывают несколько животных с разным количеством ног и приглашают провести «парады ног» для разного их количества. Например, каких животных вы возьмете, если организуете парад из 20 ног?

Рис. 5.11. Животные для парада ног. Дж. Боулер и др. Математическое мышление. Класс 1.

Одна учительница, которая использовала в своем классе бланк узкого метода, задала мне вопрос: как работать с учениками, если одни умеют складывать в пределах 20, а другие нет? Это вполне резонный вопрос в мире узкой математики. Представьте себе первоклассников, сидящих за партами с таким бланком: одни, уже научившиеся складывать, могут быстренько пробежаться по нему без особых раздумий. Другие придут в замешательство и будут смотреть на бланк в панике и страхе. Вполне понятно, почему учителя не хотят давать этот материал школьникам с разным уровнем результатов и разными текущими возможностями.

Все изменится, если мы вырвемся из мира узкой математики в мир математического разнообразия, создавая для учеников возможности для построения ментальных моделей. Вариант сложения с помощью парада ног отличается от бланка с заданиями по крайней мере в трех аспектах. Первое отличие – визуальный характер парада; это важно не только потому, что метод более нагляден, но и потому, что он дает детям то, что можно посчитать, и модель, которую они могут построить в голове. Это означает, что работать могут и те ученики, которые хотят считать ноги, и те, которые могут образовывать числовые связи без подсчета. Второе отличие заключается в том, что ученики взаимодействуют с интересными и увлекательными объектами из окружающего мира. Мой опыт показывает, что детям нравится выбирать разных животных и изображать их на плакатах (рис. 5.12).

Третье отличие заключается в том, что одно и то же число можно составить разными способами. Поэтому ученики могут создать свой собственный парад ног (и ощутить гордость), а не гоняться за тем, чтобы получить тот же ответ, что у других. В подобных заданиях неважно, обладают ли ученики какими-то специальными знаниями, – широта вопроса и различные точки доступа означают, что включиться и работать могут абсолютно все школьники. Кроме того, на смену беспокойству и скуке, вызванным примерами на бланке, приходят вовлеченность и удовольствие – несмотря на то, что ученикам преподают ровно тот же материал. Причина в том, что мы вырвались из мира узкой математики и попали в удивительный мир математического разнообразия.

Можно поднять эту задачу на следующий уровень – выясняя, сколько существует различных вариантов, например, для 18 ног. Если математические задачи разнообразны, нам незачем разделять учеников на разные группы и классы, нанося им вред представлением об их потенциале. Очень важно, что разнообразие задач позволяет учащимся развивать визуальные мысленные представления, и это можно использовать при дальнейшем обучении.

Рис. 5.12. Плакат с парадом ног.

Умножение и деление

Позднее школьники знакомятся с умножением и делением – темами, которые обычно преподают в числовом виде. В узкой версии объяснения используется один высоко ценимый метод и один высоко ценимый ответ. Однако разнообразие (многоплановый подход) дает возможность ученикам размышлять о различных способах умножения или деления и о визуальных способах их представления, что создает важные возможности для развития мозговых связей и ментальных моделей.

Не думаю, что есть необходимость в еще одном бланке с заданиями, аналогичном бланку со сложением. Скорей всего, у вас уже полно таких листков с примерами на умножение и деление. Вместо этого давайте начнем обсуждать умножение со следующего: представьте мысленно 38 × 5, ничего не записывая. Когда я предлагаю такое задание школьникам в первый раз, они не понимают, как создать визуализацию; зачастую у них вообще нет никаких зрительных идей. Однако со временем они осваиваются с визуализацией чисел. На рисунке 5.13 приведены методы и зрительные представления, которые, по их словам, часто помогают им в понимании.

Рис. 5.13. Числовые и визуальные решения для умножения 38 × 5.

Когда я показала своим студентам в Стэнфорде умножение 38 × 5 в виде рисунка 5.14, они сказали мне, что впервые поняли, почему при умножении чисел можно использовать метод, когда один множитель удваивается, а второй уменьшается вдвое.

38 × 5 = 19 × 10

Рис. 5.14. Одно из решений для умножения 38 × 5.

Я описала различия между тем или иным способом вычислить 38 × 5 и в начале дискуссии предложила студентам рассмотреть разные способы произведения 38 × 5. Некоторые люди критикуют теории ментальности, утверждая, что сторонники методов с установками на рост возлагают ответственность за изменения на самих учеников. Я понимаю эту критику, но твердо убеждена, что преподаватель обязан раскрывать содержание так, чтобы посылы на установку могли закрепиться. Если вы говорите ученикам, что они могут научиться чему угодно, но затем даете узкий материал (например, вычисление 38 × 5 с одним ответом и одним ценимым методом), то школьники не поймут, где здесь они могут учиться и развиваться. Но когда контент раскрывается, и ученикам предлагается подумать и порассуждать, они ощущают, как закрепляются установки и улучшается их учеба. Хотя некоторые исследования показывают, что посылы на установку, которые даются вне уроков, без изменений в преподавании, не оказывают никакого влияния (или их влияние незначительно)193, вкупе с изменением подхода к математике они значительно улучшают успеваемость и установки учащихся194.

Вместо того чтобы просить школьников разделить 273 на 7, в правильном подходе к делению, задействующем визуализацию, мы просим учащихся построить прямоугольник с площадью 273 и длиной одной стороны 7, как показано на рисунке 5.15195. Их задача – найти длину второй стороны различными способами.