(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

class="p1">Подобные визуальные представления умножения и деления важны не только потому, что они способствуют созданию ментальных моделей, но и потому, что они показывают, насколько по-разному мы можем думать о вычислениях, а также причины, почему эти методы работают. Это помогает ученикам развить то самое чувство числа – подход к числам, который приводит к высоким результатам196. Когда у учащихся сформировано чувство числа, они могут воспринимать смысл чисел и гибко использовать их в различных ситуациях. Чувство числа не появляется в результате слепого заучивания математических фактов! Как я уже рассказывала в предыдущей главе, оно развивается, когда мы задействуем ish-математику.

Рис. 5.15. Различные визуальные решения для деления 273 на 7.

Рис. 5.16. Подход в учебниках к умножению чисел.

За годы своей карьеры мне посчастливилось поработать с несколькими невероятными учителями начальных классов, которые поощряют развитие ментальных представлений у своих учеников, приглашая их мыслить не только визуально, но и физически. Одна из них – Джин Мэддокс, учительница пятого класса в Калифорнийской долине. До нашего знакомства она преподавала умножение по принятому в их школьном округе учебнику, страничка из которого показана на рисунке 5.16.

Это типичный пример из учебников, используемых в США. Сейчас Джин отдает предпочтение математическому разнообразию и предлагает ученикам думать об умножении разными способами – физически, визуально и численно. Школьники производят умножение, выстраивая числа с помощью кубиков, рисуя их и работая с цифрами. На рисунке 5.17 показаны примеры их различных работ.

Рис. 5.17. Примеры школьных работ, где умножение выполняется физически, визуально и численно.

Разница между узкой задачей и заданием, которое вносит разнообразие и мотивирует учеников углубляться в предмет, может быть незначительной. Например, вместо того чтобы просить учеников вычислить площадь прямоугольника 12 × 2, вы можете спросить их, сколько прямоугольников с площадью 24 они могут найти (рис. 5.18). Первый вопрос сводится к вычислению, а второй превращается в радостное наглядное исследование, где школьники получают возможность рассмотреть взаимосвязь между длиной и шириной, что открывает доступ к принципиальному пониманию площади.

Рис. 5.18. Сколько прямоугольников имеют площадь 24?

Деление дробей

Одна из самых проблемных тем в начальных школах, которая вызывает огромные трудности у учеников, дает низкие результаты на тестах и не имеет практической ценности, – это деление дробей. Когда взрослых просят привести примеры деления дробей из реальной жизни, большинство из них не могут придумать ни одного197. На мой взгляд, эта операция – главный кандидат на полное переосмысление методики преподавания, включая перенос в учебные программы более поздних лет. Деление дробей лучше всего преподавать маленьким детям концептуально (на уровне идеи), чтобы у них сформировалось понимание происходящего. Вместо того чтобы объяснять смысл процесса, учителя обычно озвучивают правило: чтобы разделить число на дробь, нужно ее перевернуть, а затем умножить число на перевернутую дробь. Этот процесс не имеет смысла для учеников, и даже появилась популярная мнемоника: «Ours is not to reason why, just to flip and multiply»[41].

Это печально, ведь рассуждения – главное в математике. Они суть самой дисциплины, и именно они лежат в основе всех математических работ высшего уровня и математических доказательств. Когда математики пишут статьи и общаются друг с другом, они используют математические рассуждения, устанавливая логические связи между идеями. Когда школьники учатся объяснять друг другу суть выбранных ими методов и их применение, они занимаются, пожалуй, самым важным видом математической деятельности – рассуждением. Я уверена, что фраза «Ours is not to reason why, just to flip and multiply» появилась потому, что сама операция слишком сложна для понимания или рассуждений в десятилетнем возрасте, когда эту тему изучают в американских школах.

Последние несколько лет я имею удовольствие учить и учиться у человека, с которым я впервые познакомилась, когда еще училась в Стэнфорде – на занятиях по математике для первокурсников. Монтсе Кордеро приехала из Коста-Рики; в ее багаже были успехи в школьной математике и на Международной математической олимпиаде. Монтсе обладает подлинным математическим любопытством – ее глаза загорались каждый раз, когда мы обсуждали, почему работает тот или иной подход. С тех пор Монтсе стала чем-то вроде звезды среди учителей математики: она принимает участие в моем онлайн-курсе для учащихся198 и появляется в качестве супергероя Youcubed в наших видеороликах199. Но настоящая звездность Монтсе заключается в ее упорстве и уверенности в себе: она выбрала математику в качестве основной специальности в учебном заведении, где руководство игнорировало ее как студентку и даже не предоставило ей руководителя, а затем поступила в магистратуру по математике – к счастью, в другом университете. Сейчас Монтсе готовится к защите докторской диссертации по математике.

Монтсе Кордеро

Одно из моих воспоминаний о Монтсе связано с уроком, на котором я знакомила первокурсников с делением дробей и просила представить это действие наглядно. Предполагалось, что обсуждение будет кратким, однако в итоге ему пришлось посвятить все занятие, поскольку студенты осознали, что никогда не понимали, что происходит при делении дробей; они только «переворачивали и умножали». Их потряс показанный видеоролик, на котором Кэти Хамфрис учит семиклассников, как можно визуализировать процесс деления 1 на 2/3 200.

В этом видеоролике ученики осмысливают деление дробей тремя визуальными способами (рис. 5.19):

Рис. 5.19. Три визуальных подхода к делению 1 на 2/3.

Слева: более светлая часть представляет собой 2/3 круга. Учащиеся видят, что эта светлая часть помещается внутри круга полтора раза. В середине: более темная часть представляет собой 2/3 прямоугольника. Учащиеся видят, что эта темная часть помещается внутри прямоугольника полтора раза. Справа: линия под числовой прямой представляет собой 2/3. Учащиеся видят, что линии над числовой прямой показывают 2/3 плюс половину от 2/3.

Я записала видеоролик, где объясняю кукле-овечке визуальный подход к делению дробей201! Эта овечка принадлежит математику Тиму Шартье, который любит использовать куклы, чтобы помогать ученикам изучать математику.

Спустя годы, когда Монтсе уже была на последнем курсе Стэнфорда, она решила написать диплом по педагогике и сосредоточилась на делении дробей. Монтсе рассказывает о важности того момента на первом курсе, когда впервые осознала, что в делении дробей вполне можно разобраться и что эта тема не выходит у нее из головы и увлекает ее. Дипломная работа Монтсе начинается с размышлений:

Три года назад я смотрела видеоролик, в котором семиклассники решали примеры на деление дробей, не прибегая к заученному алгоритму, и обратила внимание, что не совсем понимаю, что они делают. Было удивительно наблюдать, как 12-летние дети действуют точно маленькие математики. За делением дробей стояла настоящая математическая работа, которой я никогда раньше не видела. Я могла ответить на этот вопрос, используя идею «переверни-и-умножь», оставшуюся в памяти, однако я даже не осознавала, что понятия не имею, почему она работает202.

В своей работе Монтсе использовала интересный подход – она привлекла компьютер, чтобы изучить эффективность и концептуальные требования алгоритма «переверни и умножь» и более удачного метода, который начинается с нахождения общих знаменателей. Один из интересных выводов Монтсе заключается в том, что для понимания этого алгоритма ученики должны владеть материалом, который еще не изучается в том классе, когда вводят деление дробей203! Это важно, поскольку отсюда следует: мы ожидаем, что школьники вызубрят и будут использовать алгоритм, не понимая его, не рассуждая о причинах.

Если вводить алгоритмы, которые ученики не понимают, возникает одна проблема. Учителя начальных классов немало трудятся, помогая школьникам развивать чувство числа и в целом осмысливать встреченные математические идеи, используя