(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Рис. 5.3. Зоны мозга, задействованные при математическом мышлении.

Новаторская работа нейробиолога Вино Менона показала, что, когда люди работают над какой-нибудь математической задачей (пусть даже проводя абстрактные вычисления), они задействуют пять различных мозговых путей (рис. 5.3)183.

Когда журнал National Geographic подводил итоги исследования природы «гения», он добавил полезную информацию об этих путях. Рассматривались выдающиеся личности, которых назвали «первопроходцами». Их выделили за «блистательный вклад» в развитие своих дисциплин – ученые Альберт Эйнштейн и Мария Кюри, исследовательница комизма Энн Либера и математик Теренс Тао. Вывод из этой увлекательной дискуссии: достижения, которые люди приписывают «гениальности», на самом деле являются результатом сложного сочетания обстоятельств, включающих возможности обучения, а также культуру, географию, привилегии и, конечно же, развитие мозга. Примечательно, что мозг первопроходцев отличается от мозга обычных людей количеством связей и лучшим развитием зрительных зон184. Два мозговых пути, которые сосредоточены на визуальном восприятии, находятся в затылочной части мозга. Когда мы сталкиваемся с числовой проблемой и видим визуальное представление или описание, хорошо сформулированное словами, между областями мозга создаются связи. Исследователи доказали, что учащиеся добиваются более высоких результатов, когда в предложенных им математических заданиях присутствуют и цифры, и визуальные образы185.

К счастью, преподаватели математики располагают массой возможностей предложить ученикам идеи, которые стимулируют различные мозговые пути и связи – например, рассматривать понятия не только как числа, но и как слова, визуальные образы, физические представления, таблицы, алгоритмы, модели и движение. Мы должны стремиться к тому, чтобы обеспечивать ученикам, детям и самим себе связный, многомерный опыт математики, который стимулирует соединение и коммуникацию различных мозговых путей.

Группитизация

В сфере математического образования, когнитивных наук и нейронаук уже несколько десятилетий ведутся исследования, показывающие, что визуальное и физическое представление математики повышает продуктивность учебы186. Несмотря на эти масштабные работы, математические классы и учебники по математике, издаваемые влиятельными и доминирующими компаниями, повсеместно заполнены цифрами. Традиции преподавания математики меняются медленно, однако уже сейчас преподаватели могут помочь своим ученикам с разработкой мощных ментальных моделей – визуальных и физических, являющихся основой для качественного и глубокого понимания математики. Когда люди учатся создавать и использовать эти модели, они попадают в царство математической многоликости, получают возможность увидеть математику с разных сторон и ощутить ее как разнообразный набор идей. Я приведу примеры из разных областей, входящих в программу К–12, – числа, умножение, деление, дроби и алгебра. Эти примеры призваны помочь учителям, родителям и всем читателям понять, что они могут – и должны – создавать возможности для учащихся (в том числе и для самих себя) по развитию собственных ментальных моделей в любой области математики.

Видеть цифры

Нейробиолог Брюс Маккэндлисс, мой коллега по Стэнфорду, занимается вопросами образования и обучения187. Вместе со своей командой он провел потрясающее исследование, показавшее, что то, как юные ученики видят и группируют числа, предсказывает их результаты в государственных тестах на годы вперед и даже смягчает влияние низких семейных доходов188. Ранее исследователи и педагоги отмечали важность так называемой субитизации – способности бросить взгляд на группу объектов и мгновенно (без подсчета) определить их количество, если это количество находится в диапазоне от 1 до 4. Такая способность обычно проявляется в детском саду и развивается в последующих классах. Маккэндлисс и его коллеги ввели термин «группитизация» (groupitizing) – способность группировать большее множество объектов с помощью субитизации. Например, если показать человеку рисунок 5.4 и спросить, сколько здесь точек, он может сказать, что их 10, так как он видит (посредством субитизации) группы из 4, 4 и 2 точек.

Рис. 5.4. Группитизация: 4 + 4 + 2 = 10.

Рис. 5.5. Визуальное представление взаимосвязей между группитизацией, семейным доходом и результатами на государственных тестах по математике (согласно Маккэндлиссу и др.).

В своем исследовании, в котором участвовали 1209 школьников, учившихся по программе K–8 (восьмилетнее образование), экспериментаторы установили, что уровень умения «группитизировать» прогнозирует результаты детей в государственных тестах по математике более надежно, нежели владение цифрами или успехи в арифметике. Полученные результаты оказались надежными вплоть до 8-го класса. На рисунке 5.5 показаны важные взаимосвязи, которые установили исследователи.

Исследователи обнаружили, что результаты тестов сильно связаны с уровнем семейного дохода (параметр, который использовался в качестве меры равенства): стандартный коэффициент регрессии равен 0,67 (в нижней части диаграммы), даже с учетом успеваемости по математике. Однако эта модель также демонстрирует, что группитизация оказывает почти такое же влияние: коэффициент регрессии равен 0,56. В нижней строке диаграммы показано, что, когда школьники научились группитизировать, влияние низкого семейного дохода упало до 0,25. Эти данные демонстрируют, что группитизация значительно повышает математические результаты учащихся и снижает влияние системного неравенства – две чрезвычайно веские причины для того, чтобы обучать школьников этому методу.

Один из способов обучения группитизации – упражнение, которое называется «разговор о количестве точек на карточке». Учителя или родители показывают набор точек и спрашивают детей, сколько точек они видят. Важно предупредить учащихся, что у них будет всего несколько секунд для рассматривания картинки, поэтому им следует не считать точки, а группировать их. Я обычно объясняю своему классу, что группировка – естественное занятие для нашего мозга, и поэтому это может сделать каждый.

Когда я недавно проводила такое занятие для девочек из средней школы, они придумали 24 разных способа сгруппировать семь точек (рис. 5.6 и 5.7).

Рис. 5.6. Семь точек.

Я всегда рисую все придуманные группировки на доске и даю каждому методу имя учащегося, который его предложил, – как изображено на рисунке 5.8. Я также прошу учеников сопроводить свою картинку цифрами, которые соответствуют такому визуальному представлению, что позволяет нам увидеть множество различных способов образования чисел.

Исследование Брюса Маккэндлисса и его команды поражает воображение. Мы тратим массу времени в начальной школе, рассказывая детям о числах и операциях, но не даем им возможности увидеть, как можно сгруппировать точки в различные числа, хотя это в значительно большей степени улучшает их результаты – даже на узких государственных тестах. Когда ученики учатся группитизировать, у них формируются ментальные модели, к которым они могут возвращаться каждый раз, когда думают о числах. Уже одно это исследование, на мой взгляд, должно заставить пересмотреть приоритеты математики в начальных школах. В другой своей работе Брюс с коллегами показывают, что математические занятия на основе палочек Кюизенера, о которых я рассказывала в главе 4, существенно меняют понимание чисел, дробей и основополагающих идей (например, эквивалентности). Важно отметить, что эти палочки позволяют ученикам сформировать мысленные представления абстрактных идей, которые распространяются на изучение алгебры189.

Рис. 5.7. 24 способа группировки семи точек, предложенные девочками из средней школы.

Рис. 5.8. Наш первый лагерь Youcubed, где я обсуждала количество точек на карточке, демонстрируя рисунки школьников с их именами и соответствующими цифрами.

Еще одна важная модель чисел – это наши пальцы. Недавние исследования подтвердили важность восприятия пальцев (термин, который нейроученые используют для описания уровня, на котором вы чувствуете собственные пальцы) для нашего понимания математики. Тест на восприятие пальцев: поместите руку под книгу или под стол, чтобы вы ее не видели, и попросите кого-нибудь легонько коснуться ваших пальцев по отдельности. Если вы сможете правильно идентифицировать все пальцы, значит, чувствительность развита. Исследователи выяснили, что восприятие пальцев лучше прогнозирует успеваемость по математике во втором классе, нежели результаты тестов190. Они также установили, что запрещать ученикам задействовать пальцы равносильно остановке их математического развития191. Я убеждена,