Природа боится пустоты - Дмитрий Александрович Фёдоров
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ЦИРКУЛЬ И ЛИНЕЙКА
Математика древности
Первые числовые и геометрические понятия возникли еще в глубочайшей доисторической древности, однако понимание счета, порядка и протяжения развивалось крайне медленно. Первые представления о землемерии и о количествах предметов передавались из рода в род, постепенно преумножались и накапливались, но всегда оставались тайной немногих наиболее талантливых людей. Когда, спустя долгие века, сложился простейший арифметический аппарат, то люди уже не могли поверить, будто эти удивительные знания являются результатом труда многих предшествующих поколений их предков. Подобное естественное развитие событий казалось невероятным, а потому появление математической мудрости повсеместно приписывали участию богов. Лишь у эллинов в силу уже описанных социальных сдвигов возникло желание осмыслить процесс развития научных завоеваний. Именно с VI–V веков до нашей эры, когда греки начали проявлять особый интерес к теоретическим изысканиям, и следует начинать историю математики именно как науки.
Необходимо, конечно, уточнить, что соседние Вавилон и Египет (мы здесь вовсе не касаемся Индии и Китая) к тому моменту уже имели многовековую математическую традицию, которая, однако, носила в основном прикладной и эмпирический характер. Крупные централизованные государства не могли бы существовать без достаточного числа специалистов, способных успешно решать разнообразные задачи, возникающие при строительстве зданий или размежевании земельных наделов, при торговых сделках и распределении ресурсов, при учете рабочей силы и сборе податей, а также при составлении календаря. Социальный статус писцов, которые кроме грамоты были обучены еще и вычислительным приемам, всегда был достаточно высоким, хотя, конечно же, сильно зависел от личных талантов и родственных связей — понятно, что стать верховным жрецом (то есть советником государя или министром) удавалось далеко не каждому.
Вавилонская счетная техника и числовая запись были совершеннее египетских, а круг решаемых задач — несколько шире, но в обоих государствах расцвет математики приходится на первую половину II тысячелетия до нашей эры (как мы помним, это еще бронзовый век), когда имел место один из высоких подъемов человеческой культуры. Благоприятный климат, обильные урожаи и развитая торговля способствовали тому, что у людей в избытке имелось всякое, что требовалось измерить и сосчитать.
Главная особенность древневосточной математики, однако же, заключалась в том, что важным там считалось каким-либо способом отыскать или угадать верное решение задачи, чтобы затем изложить его в виде пошаговой инструкции. Правильность таких инструкций никак не доказывалась, а методов исследований не существовало. О числах не мыслили абстрактно, но всегда имели в виду конкретное количество хлебов или овец, поскольку всегда преследовался чисто материальный интерес. Почти все математические вопросы, рассматриваемые вавилонянами и египтянами, являлись сугубо вычислительными и сводились к составлению практической задачи с указанием способа решения и конкретного численного примера. Дошедшие до нас тексты являются собранием готовых рецептов: сначала сделай одно, а затем другое, сложи, удвой, образуй обратную величину — и ты получишь истинный ответ.
Вычисления в Египте и Вавилоне
Для ясности рассмотрим задачу №R52 из знаменитого египетского папируса Ахмеса — древнего учебного руководства, составленного в первой четверти второго тысячелетия до нашей эры. Текст задачи таков: «Какова площадь усеченного треугольника, если его высота 20 хет, основание 6 хет, а верхнее основание 4 хета? Сложите нижнее основание с верхним. Получите 10. Разделите 10 пополам. А затем 5 умножьте на 20. Помните, что 1 хет равен 100 локтей. Посчитайте ваш ответ».
Несложно понять, что под усеченным треугольником подразумевается трапеция, площадь которой египтяне определяли как произведение половины суммы оснований на высоту, то есть идентично современной школьной формуле. Впрочем, вычисление ответа само по себе являлось непростым делом, ведь в древнем Египте еще не знали таблицы умножения, а вместо нее применяли метод последовательного удвоения, поэтому даже относительно простые подсчеты получались достаточно громоздкими.
Предположим, что, как и в нашем случае, требовалось перемножить 20 на 5. Для этого сперва записывали вспомогательный ряд чисел, где каждое следующий член был вдвое больше предыдущего, например: 1, 2, 4, 8 и так далее. Затем составлялся второй ряд чисел — напротив единицы писалось наибольшее число из рассматриваемого произведения (в нашем примере это 20), а следующие члены ряда также получались удвоением предыдущего. Далее выбирались те числа из первого ряда, которые в сумме дают наименьший множитель, а искомое произведение получалось как сумма соответствующих членов из второго ряда. Выглядело это (с поправкой на то, что сами цифры, разумеется, записывались иначе) следующим образом:
✓…..1…..20
……..2…..40
✓…..4…..80
……..8…..160
…………….100
Поскольку 5 = 1 + 4, то 5 х 20 = 20 + 80 = 100.
Конечно, мы сейчас рассмотрели довольно простой и часто встречающийся вычислительный пример, поэтому хороший писец, наверняка, помнил ответ наизусть. Однако несложно убедиться, что описанный способ позволяет вполне успешно заменять умножение сложением и в намного более трудных случаях. Особенно, если учесть, что в конкретных задачах для удобства можно было начинать первый ряд не только с единицы, а с любого удобного числа. Отношения последующих членов ряда также выбиралось исходя из удобства счета.
Ни в одном сохранившемся папирусе, ни в одной расшифрованной клинописной табличке нет ничего похожего на доказательство правильности предлагаемых рецептов. Разумеется, египетские и вавилонские мудрецы должны были каким-то образом получить свои решения и убедиться, что они дают верный результат, однако, вероятно, используемые методы оставались профессиональной тайной узкой группы специалистов высочайшего класса. Лишь отдельные случайные намеки позволяют нам в редких случаях предположить, как был обнаружен тот или иной ответ. Так, например, иной раз мы встречаем в папирусах пояснения, что величину площади треугольника необходимо удвоить, чтобы сделать из него четырехугольник, а нахождение полусуммы оснований трапеции позволяет превратить ее в прямоугольник.
Обычные писцы не вникали в данные тонкости, а просто-напросто заучивали математические книги наизусть, полагая их священной истинной. Кроме того активно использовались всякого рода вспомогательные таблицы:
