Природа боится пустоты - Дмитрий Александрович Фёдоров
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Особый интерес вызывает предание о задаче, связанной с удвоением куба. Однажды на острове Делос началась эпидемия чумы, и дельфийский оракул сообщил, что для спасения от болезни необходимо установить в храме кубический жертвенник объемом вдвое больше существующего. С тех пор делосской задачей занимались многие античные математики, которым, как легко понять, требовалось просто извлечь кубический корень из 2. Оказалось, что это проблематично сделать существующими на тот момент средствами. Попробуем разобраться, в чем именно состояла трудность.
Если вавилоняне являлись прекрасными вычислителями, которые имели даже аналог современных десятичных дробей (правда их дроби, как и сама система счисления, были шестидесятеричными) и освоили простейшие алгебраические приемы, то греки понимали математику в основном геометрически. Все их представления об арифметике, алгебре, тригонометрии и анализе всегда оставались очень ограниченными.
С современной точки зрения античная геометрическая математика выглядит невероятно громоздкой и неудобной. Мало того, требовалось, чтобы всякие построения осуществлялись исключительно циркулем и линейкой (без делений), что сильно ограничивало круг поддающихся решению задач. Данное ограничение возникло из-за того, что с помощью своих веревок землемеры могли строить только прямые линии или окружности. С помощью циркуля и линейки можно графически осуществлять все четыре арифметических действия, а также извлекать квадратные корни, поэтому решению поддавались лишь такие задачи, которые сводились к линейным либо квадратным уравнениям. Ничего иного таким способом решить нельзя. Об этом, конечно, еще не могли знать, а потому тратили колоссальные усилия на проблемы, справиться с которыми невозможно без использования более изощренных инструментов.
Конечно, иной раз графическая интерпретация действительно бывает полезной, поэтому и сегодня в школах для выражений вроде
приводят вспомогательные чертежи
однако мы все же воспринимаем их как вспомогательный и разъясняющий материал. Построить всю математику на основе подобного геометрического подхода — чрезвычайно трудная задача, которую, впрочем, удалось блестяще решить.
Так, рассмотрим для ясности античную процедуру решения квадратного уравнения вида
Сразу отметим, что свободный член изначально мыслится тут как некоторая квадратная площадь, а не простое число. Сама задача формулировалась (и понималась) следующим образом: к данному отрезку необходимо приложить такой прямоугольник, чтобы, имея избытком квадрат, он был равновелик данному квадрату. Неподготовленный человек, даже и умеющий хорошо решать квадратные уравнения, едва ли сможет понять, что вообще от него хотят. Попробуем разобраться.
Пусть дан отрезок АВ длинной a, требуется найти такой отрезок x, чтобы заштрихованная площадь на чертеже равнялась площади квадрата со стороной m.
Решалась эта задача так. Отрезок AB делили пополам в точке C, после чего в этой точке восстанавливали перпендикуляр CD равный a/2. Далее в квадрате со стороной m строился прямоугольный треугольник, катеты которого равнялись m и a/2, что давало гипотенузу MP. Затем от точки D в сторону точки С откладывали отрезок DF, равный МР. Получающийся в результате отрезок CF как раз и является искомым отрезком x.
Докажем правильность полученного решения. Заметим, что все остальные линии на чертеже достраиваются элементарным образом, и нам нужно показать лишь, что сумма площадей прямоугольника ABB’A’ и квадрата AA’GK равны m2.
Поскольку DF = MP, то по теореме Пифагора имеем
Тогда площадь гномона (Г-образной геометрической фигуры) LGFCAE будет равна
Поскольку из построения прямоугольники LEAK и CBB’F равны, то общая площадь прямоугольника KBB’G также равна m2. Но этот большой прямоугольник, как нетрудно видеть, как раз и состоит из приложенного к исходному отрезку AB прямоугольника и построенного рядом избыточного квадрата, чья суммарная площадь должна равняться m2. Таким образом, наше решение верно.
Еще раз подчеркнем, что описанные построения не являлись графическим способом решить алгебраическое квадратное уравнение. Сама задача изначально мыслилось и появлялась именно в таком геометрическом виде. Читателю предлагается самостоятельно соотнести приведенное греческое решение с современной школьной формулой для нахождения корней квадратного уравнения.
Геометрическое деление. Геометрическое извлечение квадратного корня
Более полно проникнуть в суть греческой геометрии можно даже с помощью такой простой операции как деление. Собственно, греки не использовали слова «разделить», а говорили «приложить». Далее в книге для упрощения текста будет употребляться привычная для нас терминология, однако сейчас мы все-таки рассмотрим процедуру «приложения» подробно.
Допустим, нам нужно разделить 35 на 6. Представим 35 в виде прямоугольника со сторонами 7 и 5 (длины тут не важны, поэтому такое представление всегда осуществимо, если одна из сторон равна 1). Если мы теперь построим рядом другой равновеликий исходному прямоугольник со стороной 6, то вторая сторона нового прямоугольника будет, разумеется, равна 35/6. Таким образом, мы получим отрезок, длина которого является результатом требуемого деления.
Выполнялось это следующим образом. К первому прямоугольнику ABDC прикладывался отрезок BE с длиной 6. Затем строилась точка F, лежащая на пересечении продолжений прямых ED и АС. Чертеж дополнялся параллельными линиями, чтобы получился прямоугольник DHGJ, который оказывается равновеликим исходному прямоугольнику ABDC. В последнем утверждении легко убедиться, если заметить, что диагональ EF делит большой прямоугольник AFGE на равные части, причем полученные малые треугольники также попарно равны. Таким образом, площадь DHGJ равна 35, сторона DJ = 6, а, следовательно, сторона DH равна 35/6, что и требовалось получить. Данный способ деления приводит, например, Евклид в своих знаменитых «Началах».
Еще более поучительным является античный метод приближенного извлечения квадратного корня. В «Метрике» Герона Александрийского (жившего, как предполагают, в самом начале нашей эры) приводится следующее правило:
«Извлеки корень из 720… Так как у 720 нет рационального корня, то мы извлечем корень с минимальной погрешностью следующим образом. Поскольку ближайший к 720 полный квадрат есть число 729, имеющее корень 27, то раздели 720 на 27:
720:27=26 и 2/3;
27+26 и 2/3=53 и 2/3;
53 и 2/3:2 = 26 и 5/6.
Итак, приближенный корень есть 26 и 5/6. В самом деле, (26 и 5/6)2 = 720 и 1/36, так что погрешность равна всего 1/36. Если мы пожелаем, чтобы погрешность была менее 1/36, то надо вместо 729 подставить 720 и 1/36, проделать ту же процедуру, и тогда получится гораздо меньшая погрешность, чем 1/36».
В оригинальном тексте, разумеется, используется греческая математическая символика и числовая запись, а сама задача формулируется, как необходимость
