Природа боится пустоты - Дмитрий Александрович Фёдоров
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Пусть необходимо извлечь квадрат из числа a, причем ближайший полный квадрат есть b2, тогда, согласно Герону, имеем следующую формулу
Геометрически это можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть ABDC есть исходный квадрат, имеющий заданную площадь a. Построим два одинаковых равновеликих данному квадрату прямоугольника AKPM и AHJF с основанием равным b. При этом один прямоугольник расположим вертикально, а второй горизонтально. Вторая сторона этих прямоугольников будет, разумеется, равна a/b. Точка B неизбежно лежит между точками H и K, то есть длина стороны исходного квадрата находится между b и a/b (рассуждение сохраняет свою силу независимо от того, будет ли ближайший полный квадрат больше или меньше исходного). Античная формула предлагает принять приближенное значение искомой стороны квадрата как среднее арифметическое между верхней и нижней границами (то есть разделить отрезок HK пополам и получить отрезок AQ ≈ a0,5).
Если точность такого решения нас не устраивает, то мы повторим описанное построение еще раз (пунктирные линии на чертеже), но теперь уже вместо b примем известный отрезок AQ. Из рисунка ясно, что на втором шаге приближение окажется существенно лучшим. При необходимости данную процедуру можно повторять сколь угодно много раз, добиваясь любой требуемой точности, хотя описанное решение сходится достаточно быстро и для практических нужд обычно хватает одной-двух итераций.
Описанный геометрический метод представляет собой не что иное, как графическое представление последовательного приближения при разложении в ряд. Если числитель и знаменатель в выражении a/b являлись большими числами, то грекам требовалось изрядно потрудиться, чтобы привести его к сумме дробей вида 1/n (поскольку других они не знали), но с этой неизбежной трудностью справиться было можно.
Формулу Герона для корня из a легко преобразовать следующим образом
В последнем виде это выражение было известно уже вавилонянам, причем они понимали, что ответ получается неточным. Нас, однако же, не должна вводить в заблуждение простота приведенных алгебраических преобразований, поскольку в те времена еще не существовало аналогичной символьной записи, а все операции над пропорциями осуществлялись графически либо устно. Скорее всего, вавилоняне получили свою формулу независимо с помощью каких-то элементарных геометрических выкладок.
В «Началах» Евклида, а также в комментарии Теона к «Альмагесту» мы находим простое объяснение для такого способа извлечения корня. Пусть необходимо найти сторону AB квадрата ABCD, если его площадь равна a.Разложим этот квадрат на два меньших квадрата и два равных прямоугольника, как это показано на чертеже, причем b2 примем ближайшим полным квадратом к a.Легко видеть, что площадь гномона, состоящего из двух прямоугольников и заштрихованного квадрата, равна a — b2. Для удобства выпрямим гномон (пунктирные линии на рисунке), после чего высоту h можно определить, поделив площадь полученного длинного прямоугольника на 2b (малым заштрихованным квадратом пренебрегаем). Сама искомая сторона AB, что очевидно, равна сумме b + h. Заметим, что если b2 принять большим, чем исходный квадрат ABCD, то логика приведенных рассуждений практически не изменится, зато будет получена вторая оценка значения квадратного корня из a.
Эта формула в точно таком же виде (естественно, описанная словами безо всякой символики) встречается у жившего в XIII–XIV веках византийского математика армянского происхождения Николая Артавазда Рабды. Проиллюстрировав процедуру извлечения корня числовым примером, Рабда заключает: «Вот изложение простейшего нахождения квадратного корня. Более же точный способ нелегок для понимания, даже под руководством учителя».
Очень часто в книгах по истории науки опускаются все излагаемые тут подробности о сути греческой геометрической математики. Из-за этого может возникнуть недопонимание: как получилось, что античные и средневековые математики не смогли открыть «элементарных» вещей и произвести «простейших» преобразований, понятных любому современному смышленому школьнику. Ответ, как теперь должно быть ясно, достаточно прост — в графическом виде такие преобразования являются чрезвычайно трудными или вовсе невозможными. Одновременно с этим становится еще более удивительным то, сколь многого удалось достичь греческим математикам, пользуясь столь неудобными средствами.
Добавим еще, что теперь уже должно стать понятно, почему ни Фалес, ни другие древнегреческие философы-материалисты не создали ничего похожего на современную физику. Даже если бы они захотели сравнивать результаты наблюдений с выводами из своих метафизических теорий, то эта задача оказалась бы им не по силам. Виной всему — ограниченность античной математики.
Разумеется, привычный для нас последовательный и строгий вид геометрия приняла далеко не сразу. Так, в V веке до нашей эры первые греческие математики творили в основном для близкого круга друзей или учеников, поэтому считалось вполне достаточным, чтобы читатели просто поняли общую суть рассуждения. Причем вместо готовых окончательных решений автор зачастую описывал весь путь своих поисков, делился ошибками и неудачными попытками. Позже, вместе с общим ростом культуры, математические тексты обрели свою классическую стройность.
На самом деле нам не так уж много известно непосредственно о геометрии эллинов V и IV веков до нашей эры. Хоть эти столетия и сохранили нам целый ряд литературных памятников, но все имеющиеся тексты практически не касаются математики: встречаются лишь редкие и разрозненные свидетельства. Самые древние труды по греческой геометрии, которыми мы располагаем, созданы после походов Александра Македонского и принадлежат Евклиду, Архимеду и Аполлонию (а также Автолику из Питаны, о котором мы поговорим в главах, посвященных астрономии). Все эти люди творили, опираясь на длительную и развитую математическую традицию, и мы сейчас попробуем дать ее краткий очерк, понимая, впрочем, что некоторые вопросы до сих пор остаются спорными.
Выше уже говорилось о том, что и Фалес из Милета, и Пифагор из Самоса являлись крупными общественными деятелями, которые ездили в Египет и, видимо, обучались там геометрии, чем и снискали себе особую славу и влияние. Однако сочинения Фалеса быстро исчезли из обращения, а Пифагор вовсе ничего не писал, так что оба этих философа являются полулегендарными фигурами, и поэтому нельзя в точности понять — что именно является результатом их собственной работы, а что было приписано им задним числом. Считается,
