Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

посылал статью о проблеме времени, я просил в cover letter рассмотреть статью в соответствии с правилами редакции, т. к. мой опыт показывает, что, в силу разных причин, редакции не выполняют требования своей же политики. Казалось бы, даже странно просить редакции об этом т.к. это должно быть само собой разумеющимся. Но все эти просьбы были проигнорированы и во всех случаях редакционные правила были нарушены.

Наконец, я был удивлен вот чем. Как отмечал выше, в отличие от моего опыта с так наз. престижными западными журналами, рецензии, которые я получал из Дубненского журнала "Физика элементарных частиц и атомного ядра" и писем в этот журнал, были на высоком уровне и целью рецензий было помочь автору улучшить статью. Поэтому решил послать статью о проблеме времени в этот журнал. И был очень удивлен рецензией, написанной по-русски. Привожу свой подробный ответ т.к. в нем рецензия цитируется тоже:

Статья: “A Conjecture on the Nature of Time”. Автор: Ф. Лев.

Ответ автора на рецензию

Я признателен рецензенту за то, что он подробно изложил свои возражения. К моему подходу можно относиться по-разному, но, надеюсь, что рецензент, по крайней мере, признаёт, что подход нестандартный. Понимаю, что из-за этого у читателей могут быть проблемы с пониманием. Я старался подробно объяснить свой подход, но, по крайней мере, убедить рецензента мне не удалось. Вполне допускаю, что объяснение может быть не всегда ясным. Поэтому всегда благодарен за любую критику (в том числе и неправильную) т. к. она помогает понять в чем объяснение должно быть улучшено. В связи с замечаниями рецензента, статья значительно переработана. Ниже попытаюсь подробно ответить на все возражения рецензента.

1. Почему конечная математика более фундаментальна чем непрерывная. Рецензент пишет: "Разделение математики на фундаментальную (конечную) и нефундаментальную (непрерывную) совершенно произвольно. Прежде всего, автор не дает определения фундаментальной и нефундаментальной теорий, а рассматривает на формальном уровне возможность перехода от конечной математики к непрерывной. Очевидно, что с таким же успехом на таком же уровне строгости можно перейти от непрерывной математики к конечной.”

Этот вопрос я старался подробно объяснить в статье [15], которую рецензент читал. Но, раз он считает объяснение неубедительным, то попробую подробно объяснить этот пункт, чтобы в нем была полная ясность. Вначале приведу три примера хорошо известных из физики.

Рассмотрим специальную теорию относительности (СТО) и классическую механику. Фразу, что первая теория более фундаментальна чем вторая можно понимать так. В СТО есть конечный параметр c, и классическую механику можно считать формальным пределом СТО при c→∞ потому, что любой эффект классической механики можно получить из СТО в таком формальном пределе. Но когда мы уже перешли к пределу и получили классическую механику, то вернуться назад к СТО мы уже не можем и классическая механика не может описать все эффекты СТО. Она может описать с хорошей точностью только явления, где v/c<<1.

Рассмотрим де Ситтер (dS) инвариантную теорию и Пуанкаре инвариантную теорию, т. е. СТО. Фразу, что первая более общая чем вторая можно понимать так, что в первой есть конечный параметр R (который можно назвать радиусом мира) и вторая теория может быть получена из первой в формальном пределе R→∞. Поэтому любой эффект второй теории можно получить из первой в таком формальном пределе. Но, когда мы уже перешли к пределу и получили СТО, то вернуться назад к dS теории мы уже не можем и СТО не может описать все эффекты dS теории.

В своей знаменитой статье “Missed opportunities” ("Упущенные возможности") Dyson пишет, что СТО лучше классической механики, а dS теория лучше СТО не только из физических, но и из чисто математических соображений. Группа Пуанкаре более симметричная чем группа Галилея и переход от первой ко второй при c→∞ формально описывается процедурой контракции. Аналогично группа де Ситтера более симметричная чем группа Пуанкаре и переход от первой ко второй при R→∞ формально тоже описывается процедурой контракции. Однако, группа де Ситтера полупростая и поэтому имеет максимально возможную симметрию. Поэтому эта группа не может быть получена из какой-то еще более симметричной группы при помощи контракции.

Сравним квантовую и классическую теории. Первая понимается как более общая чем вторая, например, потому, что вторая может трактоваться как формальный предел первой при ћ→0. Любой эффект классической теории можно получить из квантовой в таком формальном пределе. Но, когда мы уже перешли к пределу, то вернуться назад к квантовой теории мы уже не можем.

Во всех трех рассмотренных случаях есть общая закономерность. Мы рассматриваем две теории, так что первая содержит какой-то конечный параметр, а вторая получается из первой в формальном пределе, когда этот параметр стремится к нулю или бесконечности. Тогда первая теория трактуется как более фундаментальная чем вторая. Когда мы уже перешли к пределу, то вернуться назад к первой теории мы уже не можем.

В литературе есть термин cћG куб физических теорий. Смысл такой, что самая общая теория – это квантовая релятивистская теория гравитации, которая содержит все три параметра, менее общие теории содержат меньшее число параметров, а наименее общая теория – классическая, не квантовая и без гравитации не содержит ни c, ни ћ ни G. В своих статьях я пишу, что, во-первых, исходя из сказанного выше, лучше говорить о cћR кубе, а не cћG кубе. А во-вторых, из этой терминологии может создаться впечатление, что как раз наоборот, классическая неквантовая теория без гравитации самая общая т. к. она не содержит параметров вообще. На самом деле такая теория содержит три параметра – (kg,m,s), а в самой общей dS инвариантной квантовой теории вообще нет никаких параметров и размерностей. Они возникают только потому, что мы хотим выражать cћR через классические размерности. Эти параметры нужны только для формального перехода от более общей теории к менее общей. Этот вопрос обсуждается в моих статья и в данной статье тоже.

Наконец, обсудим вопрос о связи конечной математики со стандартной. Стандартная математика начинается с натурального ряда и, как следует из теорем Гёделя, любая теория, содержащая натуральный ряд, автоматически имеет неразрешимые проблемы с обоснованием. Рецензент пишет: "Невнятная ссылка на теоремы Гёделя не имеет отношения к данному вопросу, так как эти теоремы касаются и натурального ряда чисел, который используется автором как исходный строительный материал… Однако, в рецензируемой статье, говоря о теоремах Гёделя, автор просто выбросил упоминание о натуральном ряде чисел…".

Обычно, когда у меня возникает неясность, я стараюсь не делать сразу вывод, что кто-то чего-то не