Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Выкладки для типичного примера выглядят следующим образом. Пусть начальная температура 250 г кофе 90 °C, начальная температура 50 г сливок составляет 10 °C, а температура окружающей среды 20 °C. Если сливки налить в кофе сразу, то температура смеси через полчаса окажется равной 48 °C. Если же сливки налить через полчаса, то температура смеси будет составлять 45 °C, то есть она будет на 3 °C ниже.

Ответы

Бросающий кости в описанном нами аттракционе может надеяться выиграть немногим более 92 центов на каждый поставленный доллар. Три кости могут выпасть 216 равновероятными способами, в 91 случае играющий выигрывает. Поэтому вероятность выигрыша для него на каждой ставке равна 91/216. Предположим, что он бросает кости подряд 216 раз, ставя каждый раз по одному доллару, и что каждый раз кости выпадают по-разному. В 75 выигрышных для него случаях названное игроком число выпадает лишь на одной кости, следовательно, он получает 150 долларов. В 15 случаях названное число выпадает на двух костях сразу, и он получает 45 долларов. В одном случае заветное число выпадает сразу на всех трех костях, и игрок получает 4 доллара. Общая сумма, выплаченная ему, составляет 199 долларов. Чтобы получить ее, он поставил 216 долларов.

Следовательно, при достаточно продолжительной игре он ожидает выиграть на каждый поставленный доллар 199/216 или 0,9212… доллара. Это означает, что владелец аттракциона на каждом поставленном игроком долларе получает прибыль в 7,8 цента, или 7,8 %.

На рис. 151 показано, как разрезать тор на 13 частей, используя для этого три плоскости. Формула для наибольшего числа кусков, на которые можно рассечь тор n плоскостями, имеет вид (n3 + 3n2 + 8n)/6.

Рис. 151 Как тремя плоскостями рассечь тор на 13 частей.

Если куски после каждого сечения плоскостью можно переставлять, то тремя плоскостями тор можно рассечь на 18 кусков.

В связи с этой задачей я получил много интересных писем. Один из читателей задал трудный вопрос: каково оптимальное отношение диаметра дырки в торе к диаметру его поперечного сечения, при котором размеры наименьшего куска, отсекаемого от тора плоскостями, будут максимальными?

Другой читатель после нескольких тщательно проведенных опытов над бубликами прислал нам следующее письмо.

Уважаемая редакция!

Некоторое размышление над задачей заставляет заключить, что максимальное число кусков равно 13. На этом вопрос можно было бы считать исчерпанным, если бы при первом же посещении булочной я не купил несколько бубликов и не обнаружил, что технические проблемы, связанные с их разрезанием, не менее увлекательны, чем математические.

Чтобы получить тринадцать кусков, из бублика необходимо вырезать узкую пирамиду, вершина которой расположена внутри бублика. Я обнаружил, что проводимые сечения удобно намечать воткнутыми в бублик зубочистками. Однако, произведя все необходимые разрезы, я так и не смог найти даже следов двух самых маленьких пирамид. (Правда, было много крошек, но они, я полагаю, не в счет.) Оказывается, что при проведении трех секущих плоскостей через бублик следует не только соблюдать все меры предосторожности при каждом разрезе, но и следить за тем, чтобы при последовательных разрезах клинообразные кусочки бублика не сдвигались относительно друг друга. Даже при соблюдении всех предосторожностей самые маленькие пирамиды чуть-чуть сдвигались, но все оке не настолько, чтобы лезвие ножа могло их полностью уничтожить.

При разрезании последнего бублика я воспользовался вместо зубочисток стальными шпильками и достиг полного успеха: получилось 15 четко выраженных кусков. Все пирамиды были выше всяких похвал. Приняв чрезвычайные меры для того, чтобы предотвратить перемещения одних кусков бублика относительно других, я получил даже два лишних куска. Это произошло из-за того, что дырка в бублике не имела строго круглой формы и после проведения двух первых разрезов от бублика отделился маленький, но вполне различимый кусочек.

Может быть, очень тонкий тор типа кольца для хула-хупа разрезать было бы легче, но эта мысль появилась уже после того, как бублики были съедены, и не была исследована экспериментально.

Глава 29. ЕЩЕ ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

1. Как пересечь пустыню? На одном краю пустыни шириной 800 миль имеется неограниченный запас бензина. В самой пустыне заправочных станций нет и бензина достать негде. Грузовик может перевозить столько бензина, сколько необходимо для того, чтобы проехать 500 миль (это количество мы будем называть одной заправкой). Кроме того, его экипажу разрешается строить заправочные станции в любом месте трассы. Бензохранилища могут быть любых размеров; предполагается, что потерь на испарение нет.

Какое количество бензина (в заправках) необходимо для того, чтобы грузовик мог пересечь пустыню? Существует ли предельная ширина пустыни, которую можно пересечь на грузовике?

2. Двое детей. У мистера Смита двое детей. По крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что оба ребенка мистера Смита — мальчики?

У мистера Джонсона двое детей. Старший ребенок девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка мистера Джонсона — девочки?

3. Шахматная задача лорда Дансэни. Поклонникам ирландского писателя лорда Дансэни вряд ли нужно говорить о том, что лорд Дансэни любил шахматы (его рассказ «Гамбит трех моряков», несомненно, самая занимательная из когда-либо написанных шахматных новелл). Однако не столь широко известно, что он любил придумывать хитроумные шахматные задачи, в которых так же, как и в его рассказах, сочетались юмор и фантазия.

На рис. 152 изображена задача, которую Дансэни предложил для сборника «В часы досуга». Для ее решения умение логически мыслить требуется в гораздо большей степени, чем умение играть в шахматы (хотя правила игры знать необходимо). Белые начинают и дают мат в четыре хода. Изображенная на рис. 152 позиция может встретиться и в реальной партии.

Рис. 152 Шахматная задача лорда Дансэни.

4. Профессор на эскалаторе. Польский математик профессор Станислав Шляпенарский, идя очень медленно по движущемуся вниз эскалатору, успевает спуститься на 50 ступеней, прежде чем эскалатор кончается. Из любопытства он взбегает затем по тому же эскалатору (не пропуская при этом ни одной ступени) и оказывается наверху после того, как преодолеет 125 ступеней.

Сколько ступеней можно будет насчитать в остановившемся эскалаторе, если предположить, что вверх профессор взбегает в пять раз быстрее, чем спускается вниз (то есть за то время, за которое, идя вниз, профессор опускается на одну ступеньку, взбегая наверх, он успевает подняться на пять ступенек)?

5. Одинокая восьмерка. Редакторы журнала The American Mathematical Monthly обнаружили, что самой популярной из когда-либо напечатанных журналом задач является задача, присланная Р. Л. Шэссэном (April 1964).

Наш добрый знакомый и известный знаток теории чисел профессор Евклид Парацельсо Бомбасто Умбигио страшно занят проверкой на своем арифмометре 81 х 109 возможных решений следующей задачи. Требуется восстановить запись деления столбиком одного числа на другое (деление производится без остатка), в которой все цифры подряд были заменены на X, за исключением цифр в частном, где они почти все оказались стертыми:

Посрамите профессора! Докажите, что число возможных решений можно понизить до (81 х 109)0.

Поскольку любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице, читатель должен найти единственно возможное решение задачи. Цифра 8 в частном стоит на правильном месте: восьмерка является третьей цифрой пятизначного ответа. Задача легче, чем может показаться на первый взгляд, и решается без особого труда, если воспользоваться некоторыми вполне элементарными соображениями.

6. Как разделить пирог? Существует простой способ, при котором двое могут разделить пирог так, чтобы каждому досталась по крайней мере половина: один разрезает пирог, а другой выбирает себе кусок. Придумайте общий метод, который позволил бы n персонам разделить пирог на п частей так, чтобы каждому досталось не меньше, чем по 1/n пирога.

7. Складывание карты. Математикам и по сей день не удалось найти формулу для числа способов, которыми можно сложить дорожную карту при заданном числе n сгибов. Некоторое представление о сложности этого вопроса дает следующая головоломка, придуманная все тем же Генри Э. Дьюдени.

Разделите прямоугольный листок бумаги на восемь квадратов и перенумеруйте их (только с одной стороны листа) так, как показано на рис. 153 вверху.