Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Комбинируя эти пять преобразований, можно получить 48 основных типов дьявольских квадратов (если считать, что к допустимым преобразованиям относятся повороты и отражения, то число типов возрастет до 384). Как показали Россер и Уокер, эти преобразования образуют «группу» (то есть некую абстрактную структуру, обладающую определенными свойствами), совпадающую с группой преобразований гиперкуба (четырехмерного куба) в себя.

Связь между дьявольскими квадратами и гиперкубами нетрудно усмотреть., если 16 клеток квадрата сопоставить с 16 вершинами гиперкуба. Соответствие между клетками и вершинами можно показать на хорошо знакомой двумерной проекции гиперкуба (рис. 145).

Рис. 145 «Дьявольский» гиперкуб и один из его 384 «дьявольских» квадратов.

Сумма чисел, стоящих в четырех вершинах каждой из 24 квадратных граней гиперкуба, равна 34. Пары антиподов, дающих в сумме 17, расположены в противоположных концах диагоналей гиперкуба.

Поворачивая гиперкуб и производя отражения, его можно перевести в 384 различных положения, каждое из которых отображается на плоскость как один из 384 дьявольских квадратов.

Клод Ф. Брэгдон, известный американский архитектор, скончавшийся в 1946 году, обнаружил, что, соединив одну за другой клетки магических квадратов ломаной, мы в большинстве случаев получим изящный узор. Подобные узоры можно получать, соединяя клетки только с четными или только с нечетными числами. Полученные таким способом «магические линии» Брэгдон использовал как образцы рисунков для тканей, книжных обложек, архитектурных украшений и декоративных заставок. Последние он сделал к каждой главе своей автобиографии. Придуманный им узор для вентиляционной решетки в потолке Торговой палаты в Рбчестере (штат Нью-Йорк), где он жил, построен из магической ломаной талисмана ло-шу. Типичный пример магической ломаной показан на рис. 146, где узор вычерчен прямо на квадрате Дюрера.

Рис. 146 «Магическая ломаная» для квадрата Дюрера.

Сколько существует различных магических квадратов данного порядка, мы не знаем. Ответ на этот вопрос относится к числу наиболее трудных задач занимательной математики. В настоящее время не известно даже число квадратов пятого порядка, хотя по некоторым оценкам оно превышает 13 миллионов. Россер и Уокер сумели установить, что число дьявольских квадратов пятого порядка равно 28800 (квадраты, получающиеся друг из друга при поворотах и отражениях, они считали различными). Дьявольские квадраты возможны во всех порядках n, больших 4, за исключением четных n, не делящихся на 4. Например, дьявольских квадратов шестого порядка не существует. Дьявольские кубы и гиперкубы также существуют, но (как показали Россер и Уокер в своих неопубликованных работах) не бывает кубов порядка 3, 5, 7, 8k + 4 и 8k + 6, где k — любое натуральное число. Дьявольские кубы всех остальных порядков возможны.

[Интересно, что теория магических квадратов третьего и более высоких порядков находит применение в современной квантовой механике. В теории квантования моментов количества движения используется так называемая таблица Редже, которая представляет собой магический квадрат 3x3, составленный из произвольных целых чисел (не обязательно целых). Такая таблица содержит 5 независимых целых чисел соответственно тому, что в квадрате 3x3 есть 9 элементов, на которые наложено 5 условий равенства сумм элементов всех строк и столбцов некоторому целому числу J. Таблица Редже имеет вид:

Ha 6 положительных чисел j и m наложены условие j1 + J2+J3 = J; m1 + m2 + m3 = 0 и условие положительности всех трех чисел, стоящих в первой строке. Эти условия геометрически означают, что из трех отрезков длиной j1, J2, J3 можно составить треугольник, поэтому их вместе называют «условием треугольника». Подставив в таблицу любые положительные значения j и m, удовлетворяющие написанным условиям, мы получим магический квадрат с суммой J. Естественно, этот способ легко обобщить на магические квадраты с дробными и отрицательными элементами.

Если в дополнение к приведенным условиям положить и

то у магического квадрата и сумма членов, стоящих на каждой диагонали, будет равна J.]

Глава 28. ФИРМА «ДЖЕЙМС ХЬЮ РАЙЛИ, АТТРАКЦИОНЫ И ГОЛОВОЛОМКИ»

Среди крупнейших американских компаний, занимающихся устройством различных развлечений, забав и зрелищ, несомненно, следует назвать фирму «Джеймс Хью Райли, аттракционы и головоломки», хотя в действительности ее… не существует.

Услышав, что на окраине города вновь открылась ярмарка с аттракционами, каруселью и т. п., я решил подъехать туда, чтобы повидаться со своим давним другом Джимом Райли. Мы познакомились с ним в 40-е годы, еще в бытность студентами Чикагского университета. В то время Райли был уже на старшем курсе математического факультета, как вдруг, совершенно неожиданно для всех, он вступил в странствующую труппу, чтобы стать конферансье в танцевальном ревю. В этом амплуа, как говорят актеры, он выступал и в последующие годы. В труппе его называли Профессором.

Каким-то образом ему удалось сохранить в себе живой интерес к математике, и когда бы нам ни доводилось встречаться, я всегда мог почерпнуть у него несколько оригинальных тем для раздела занимательной математики в Scientific American.

На этот раз я разыскал Профессора у входа в паноптикум, где он беседовал с контролером, проверявшим билеты. На нем была стетсоновская шляпа, и выглядел он старше и солиднее, чем при нашей последней встрече.

— Регулярно читаю твой раздел в журнале, — сказал он, когда мы обменялись рукопожатиями. — Почему бы тебе не написать как-нибудь об игре «Закрой пятно»?

— А что это за игра? — спросил я.

— Это один из самых старых наших аттракционов.

Он ухватил меня за руку и потащил за собой по дорожке. Вскоре мы остановились у щита, на котором был нарисован красный круг диаметром в метр. Профессор объяснил мне правила игры. Играющий должен разместить пять металлических дисков (беря каждый раз лишь по одному диску) так, чтобы они закрыли красное пятно. Диаметр каждого диска составлял примерно 61 см. Положив диск, играющий не имеет права передвигать его. Игра считается проигранной, если после того, как положен последний, пятый диск, между металлическими дисками останется хотя бы малейший зазор и можно будет видеть красное пятно.

— Разумеется, — добавил Профессор, — из всех кругов, которые можно полностью закрыть дисками данного диаметра, мы выбрали круг наибольшего радиуса. Большинство людей считает, что диски следует располагать так. — И он разместил диски симметрично.

При таком расположении (рис. 147) край каждого диска проходит через центр красного круга (на нашем рисунке он заштрихован), а центры дисков образуют вершины правильного пятиугольника. Но пять маленьких кусочков у самого края красного круга остаются незакрытыми.

Рис. 147 Неправильное размещение дисков при игре «Закрой пятно».

— К сожалению, — продолжал Профессор, — такое решение неверно. Чтобы закрыть как можно большую часть круга, диски следует расположить вот так. — Он передвинул диски, и они легли так, как показано на рис. 148.

Рис. 148 Правильное размещение дисков при игре «Закрой пятно».

— Центр диска 1, — пояснил Профессор, — лежит на диаметре AD, а край диска проходит через точку С, расположенную немного ниже центра В красного круга. Диски 3 и 4 следует положить так, чтобы их края проходили через точки С и D. Диски 2 и 5 закрывают оставшуюся часть пятна.

Естественно, мне захотелось узнать, чему равно расстояние ВС.

Райли не мог привести на память точные цифры, но указал мне на статью, в которой приводится подробное решение этой трудной задачи.[49] Если радиус пятна равен 1, то расстояние ВС чуть больше 0,285, а наименьший радиус диска будет 0,609… Если же диски расположены так, как показано на рис. 147, то для того, чтобы они полностью закрывали пятно, их радиус должен быть равен 0,6180339… (это число, обратное числу φ — золотому сечению, о котором говорилось в главе 23). Небезынтересно отметить следующую особенность задачи: разность между площадями тех частей красного пятна, которые оказываются закрытыми при первом (см. рис. 147) и втором (см. рис. 148) способах расположения дисков, очень мала и, если диаметр пятна меньше метра, едва различима.