Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

— Эта игра напоминает мне, — заметил я, — одну замечательную, но до сих пор не разрешенную задачу, также связанную с минимизацией площади. Определим диаметр фигуры, как длину наибольшего отрезка прямой, соединяющего две точки фигуры. Спрашивается, какова форма и площадь наименьшей плоской фигуры, которой можно накрыть любую фигуру единичного диаметра?

Профессор кивнул.

— Наименьший из правильных многоугольников, удовлетворяющих условию задачи, — это правильный шестиугольник со стороной

но около 30 лет назад кому-то удалось улучшить это решение, отрезав у шестиугольника два угла. — Он вытащил из кармана пиджака карандаш, блокнот и тут же набросал чертеж, показанный на рис. 149.

Рис. 149 Шестиугольник с обрезанными углами, которым можно накрыть любую фигуру единичного диаметра.

Углы шестиугольника срезаны по прямым, касательным к вписанной окружности (единичного диаметра) и перпендикулярным к прямым, проведенным из центра окружности в вершины шестиугольника.

— А это решение считается наилучшим из известных? — спросил я.

Райли отрицательно покачал головой.

— Я слышал, что несколько лет назад какой-то математик из Иллинойсского университета показал, как от усеченного шестиугольника можно отрезать еще кусочек, но подробностей не знаю.

Разговаривая, мы не спеша прогуливались по дорожке и остановились перед другим аттракционом. Он состоял из трех огромных игральных костей, которые нужно было скатывать по волнистой наклонной поверхности на расположенную внизу горизонтальную плоскость, и больших белых цифр от 1 до 6, нарисованных на специальном щите. Играющий может поставить любую сумму денег на любую из цифр. Затем он бросает кости. Если названное им число выпадает на одной из костей, он получает обратно свою ставку плюс равную ей сумму денег. Если число, на которое он поставил, выпадает на двух костях, ему возвращают его ставку плюс удвоенную сумму денег. Если же названное им число выпадает на всех трех костях, то он получает свою ставку и сверх нее утроенную сумму денег. Разумеется, если цифра, на которую он поставил, не выпадает ни на одной из костей, ставка считается проигранной.

— Разве такая игра может приносить доход? — спросил я. — Ведь вероятность выпадения задуманного числа на одной кости равна 1/6. А так как у нас имеются три кости, то вероятность выпадения числа хотя бы на одной из них равна 3/6, или 1/2. Если число выпадает более чем на одной кости, то играющий получает прибыль, превышающую его ставку. Мне кажется, что в этой игре все преимущества на стороне игрока.

Профессор довольно рассмеялся:

— Вот так простаки и попадаются. Подумай-ка получше.

Поразмыслив над этой игрой позднее, я был поражен. Может быть, некоторым читателям доставит удовольствие самостоятельно вычислить, сколько можно выиграть на каждый поставленный доллар при достаточно продолжительной игре.

Когда я стал собираться домой, Райли завел меня в одну из «обираловок» (так он называл закусочные) перекусить перед дорогой. Кофе нам подали сразу же, но я решил подождать, когда принесут сандвичи.

— Если хочешь пить горячий кофе, — сказал Профессор, — лучше наливать сливки сразу. Чем горячей кофе, тем быстрее он остывает.

Я послушно налил сливки в кофе. Когда Профессору принесли его сандвич с ветчиной — два одинаковых кусочка хлеба, между которыми зажат ломтик ветчины, — он спросил:

— Тебе никогда не встречалась статья Тьюки и Стоуна «Обобщенная теорема о сандвиче с ветчиной»?

— Ты имеешь в виду Джона Тьюки и Артура Стоуна — изобретателей флексагонов?

— Именно их.

Я покачал головой.

— Я не знал даже, что существует простая, не обобщенная теорема о сандвиче с ветчиной.

Райли снова вытащил свой блокнот и нарисовал сначала отрезок прямой.

— Любую одномерную фигуру всегда можно разделить на две равные по длине части с помощью одной точки. Правильно? — Я кивнул. Тогда он нарисовал две замкнутые кривые неправильной формы и прямую, которая пересекает обе нарисованные кривые (рис. 150).

Рис. 150 К «теореме о сандвиче с ветчиной» для размерности 2.

— Через любые две плоские кривые всегда можно провести прямую так, что она разделит каждую из фигур на две равновеликие (по площади) части. Правильно?

— Поверю тебе на слово.

— Это нетрудно доказать. Элементарное доказательство можно найти в книге Куранта и Роббинса «Что такое математика?».[50] Оно основано на использовании теоремы Больцано.

— Я еще помню ее формулировку, — сказал я. — Непрерывная функция, принимающая как положительные, так и отрицательные значения, обращается в нуль по крайней мере в одной точке.

— Верно. Теорема Больцано хотя и кажется тривиальной, тем не менее служит мощным средством для доказательства различных теорем существования. Разумеется, в интересующем нас случае теорема Больцано позволяет доказать утверждение о том, что прямая, делящая обе фигуры на две равновеликие части, существует, но ничего не говорит о том, как построить такую прямую.

— А какое отношение имеют сандвичи с ветчиной к нашей задаче?

— Это станет ясным, если перейти к трехмерному случаю. Объемы любых трех трехмерных тел, независимо от их размеров, формы и расположения в пространстве, всегда можно рассечь на две совершенно одинаковые (по объему) части одной плоскостью — так же, как ломтик ветчины в сандвиче разделяет два одинаковых кусочка хлеба. Стоун и Тьюки обобщили эту теорему на случай произвольной размерности. Они доказали, что всегда можно найти гиперплоскость, которая делит пополам четыре четырехмерных тела, как угодно расположенных в четырехмерном пространстве, или пять пятимерных тел и т. д.

Профессор выпил чашку кофе и указал на груду бубликов на прилавке.

— Если уж речь зашла о разрезании тел, то вот любопытный вопрос, который ты, может быть, как-нибудь задашь своим читателям. Каково максимальное число частей, на которые можно рассечь тор тремя плоскостями? Над этой задачей я размышляю и сам.

Закрыв глаза, я попытался представить себе, как три плоскости могут рассечь тор, но муза — покровительница аттракционов хорошенько запрятала ключ к задаче, у меня заболела голова, и наконец я сдался.

* * *

Аттракцион с тремя игральными костями известен в Соединенных Штатах под названием «Лови счастье» или «Клетка для птиц».

Он широко распространен в игорных домах, где кости при бросании попадают в специальную проволочную клетку, или, как ее еще называют, «ловушку». (Иногда при бросании костей жульничают, используя электромагниты.) Один из знатоков азартных игр отзывается об этом аттракционе так:

«Замысел игры весьма остроумен. Больше половины всех бросаний не приносят банкомету никакого выигрыша. Когда же ему случается выиграть, он тут же выплачивает в увеличенном размере выигрыши другим игрокам, и глаза проигравшего скорее с завистью устремятся на удачливого игрока, чем с подозрением — на банкомета. Выигрыши игроков сведены до минимума, и все же, когда кто-нибудь из них проигрывает, удар для него смягчается той явной щедростью, с которой банкомет выплачивает выигрыши кому-нибудь другому».

Мнения читателей по поводу того, когда лучше наливать сливки в кофе, разделились: одни были согласны с Профессором, другие считали, что сливки лучше наливать позднее, непосредственно перед тем, как пить кофе, а третьи полагали, что правы и те и другие, поскольку на самом деле выбор момента для наливания сливок роли не играет.

Я попросил Нормана Т. Гриджмена, специалиста по статистике из Канадского национального совета по исследованиям в Оттаве, разобраться в существе дела. Проведенный им анализ подтверждает мнение Профессора. Если исходить из закона остывания Нью-Ньютона (который гласит, что скорость остывания пропорциональна разности температур нагретого тела и окружающей его среды) и учесть, что объем жидкости в чашке после добавления сливок в кофе возрастает (на это обстоятельство, несмотря на его важность, часто не обращают внимания), то оказывается, что тепло лучше сохраняется в том случае, когда мы смешиваем кофе со сливками сразу, не давая ему остыть. Другие факторы — изменение интенсивности излучения из-за просветления жидкости, увеличение поверхности остывания в чашках с наклонными стенками и т. д. — оказывают столь малое влияние, что ими можно пренебречь.

Выкладки для типичного примера выглядят следующим образом. Пусть начальная температура 250 г кофе 90 °C, начальная температура 50 г сливок составляет 10 °C, а температура окружающей среды 20 °C. Если сливки налить в кофе сразу, то температура смеси через полчаса окажется равной 48 °C. Если же сливки налить через полчаса, то температура смеси будет составлять 45 °C, то есть она будет на 3 °C ниже.