Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Систематический подход к решению заключался бы в выписывании всех четырех возможностей: ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ (И означает «истина», Л— «ложь») — и исключении тех из них, которые противоречат данным задачи. Ответ можно получить гораздо быстрее, если заметить, что высокий туземец должен ответить утвердительно независимо от того, лжет ли он или говорит правду. Поскольку туземец поменьше ростом сказал правду, он должен принадлежать к племени правдивых, а его высокий приятель — к племени лжецов.

Самую знаменитую задачу этого типа, усложненную введением вероятностных весов и не очень ясной формулировкой, можно найти довольно неожиданно в середине шестой главы книги английского астронома А. Эддингтона «New Pathways in Science[48]». «Если А, В, С и D говорят правду в одном случае из трех (независимо друг от друга) и А утверждает, что В отрицает, что С говорит, будто D лжец, то какова вероятность того, что D сказал правду?»

Ответ Эддингтона, 25/71 был встречен градом протестов со стороны читателей и породил смешной и путаный спор, который так и не был разрешен окончательно. Английский астроном Г. Дингл, автор рецензии на книгу Эддингтона, опубликованной в журнале Nature (March 1935), считал, что задача вообще не заслуживает внимания как бессмысленная и свидетельствует лишь о том, что Эддингтон недостаточно продумал основные идеи теории вероятностей. Американский физик Т. Стерн (Nature, June 1935) возразил на это, заявив, что, по его мнению, задача отнюдь не бессмысленна, но данных для ее решения недостаточно.

В ответ Дингл заметил (Nature, September 1935), что если встать на точку зрения Стерна, то данных для решения вполне достаточно и ответ будет 1/3. Тут в драку вступил Эддингтон, опубликовав (Mathemetical gazette, October 1935) статью с подробным объяснением того, как он получил свой ответ. Спор завершился еще двумя статьями, появившимися в том же журнале, автор одной из них выступил в защиту Эддингтона, а в другой выдвигалась точка зрения, отличная от всех прежних.

Трудность кроется главным образом в понимании эддингтоновской формулировки. Если В, высказывая свое отрицание, говорит правду, то можем ли мы с достаточным основанием предполагать, что С сказал, что D изрек истину? Эддингтон считал, что оснований для такого предположения недостаточно. Точно так же если А лжет, то можем ли мы быть уверенными в том, что В и С вообще что-либо сказали? К счастью, мы можем обойти все эти языковые трудности, приняв следующие допущения (Эддингтон их не делал):

1. Никто из четверых не промолчал.

2. Высказывания А, В и С (каждого из них в отдельности) либо подтверждают, либо отрицают следующее за ним высказывание.

3. Ложное утверждение совпадает со своим отрицанием, а ложное отрицание совпадает с утверждением.

Все четверо лгут независимо друг от друга с вероятностью 1/3, то есть в среднем любые два из трех их высказываний ложны. Если правдивое высказывание обозначить буквой И, а ложное — буквой Л, то для А, В, С и D мы получим таблицу, состоящую из восьмидесяти одной различной комбинации. Из этого числа следует исключить те комбинации, которые невозможны в силу условий задачи.

Число допустимых комбинаций, оканчивающихся буквой И (то есть правдивым — истинным — высказыванием D), следует разделить на общее число всех допустимых комбинаций, что и даст ответ.

* * *

Формулировку задачи о путешественнике и двух туземцах следовало бы уточнить. Путешественник понял, что слово «тарабара» на языке туземцев означает то ли «да», то ли «нет», но не смог догадаться, что именно. Это позволило бы предупредить несколько писем, одно из которых я привожу ниже.

Сэр!

Мне очень понравилась ваша статья о логических головоломках… Желая поделиться с женой и, вероятно, потешить свое мужское самолюбие, я рассказал ей задачу о племени лжецов и правдолюбцев. Не прошло и двух минут, как она дала разумный ответ, диаметрально противоположный приведенному у вас.

Высокий туземец, по-видимому, не понял ни слова из того, что ему сказал (на английском языке) путешественник, и не мог ответить «да» или «нет» по-английски. Поэтому его «тарабара» означает нечто вроде: «Я не понимаю» или «Добро пожаловать в Бонго-Бонго». Следовательно, маленький туземец лгал, говоря, будто его приятель ответил «да», а поскольку маленький был лжецом, то он лгал и тогда, когда назвал лжецом высокого туземца. Поэтому правдивым следует считать высокого туземца.

Так женская логика нанесла удар моему мужскому тщеславию. Не задевает ли она немножко и ваше авторское самолюбие?

Ответы

Первую логическую задачу лучше всего решать с помощью трех таблиц: одной — для комбинаций имен и фамилий жен, второй — для имен и фамилий мужей и третьей — для родственных связей.

Поскольку миссис Уайт зовут Маргарет (условие 5), для имен двух других жен у нас остаются только две возможности: а) Элен Блейк и Беатрис Браун или б) Элен Браун и Беатрис Блейк.

Допустим, что имеет место вторая из возможностей. Сестрой Уайта должна быть либо Элен, либо Беатрис. Но Беатрис не может быть сестрой Уайна, потому что тогда братом Элен был бы Блейк, а двумя деверями Блейк оказались бы Уайт (брат его жены) и Браун (муж его сестры); Беатрис же Блейк не состоит в браке ни с одним из них, что противоречит условию 4. Следовательно, сестрой Уайта должна быть Элен. Отсюда в свою очередь мы заключаем, что сестру Брауна зовут Беатрис, а сестру Блейка — Маргарет.

Из условия 6 следует, что мистера Уайта зовут Артур (Браун не может быть Артуром, так как подобная комбинация означала бы, что Беатрис красивее самой себя, а Блейк не может быть Артуром, поскольку из условия 5 нам известно его имя: Уильям). Итак, мистер Браун может быть только Джоном. К сожалению, из условия 7 мы видим, что Джон родился в 1868 году (за 50 лет до подписания мирного договора). Но 1868 год — високосный, поэтому Элен должна быть старше своего мужа на один день больше тех 26 недель, о которых говорится в условии 3. (Из условия 4 мы знаем, что она родилась в январе, а из условия 3 — что ее муж родился в августе. Она могла бы быть ровно на 26 недель старше своего мужа, если бы ее день рождения приходился на 31 января, а его — на 1 августа и если бы между этими датами не было 29 февраля!) Итак, вторую из возможностей, с которой мы начали, следует отбросить, что позволяет нам назвать имена жен: Маргарет Уайт, Элен Блейк и Беатрис Браун. Никакого противоречия здесь нет, поскольку мы не знаем года рождения Блейка. Из условий задачи можно заключить, что Маргарет — сестра Брауна, Беатрис — сестра Блейка, а Элен — сестра Уайта, но вопрос о том, как зовут Уайта и Брауна, остается нерешенным.

В задаче с марками у В имеются три возможности. Его марки могут быть: 1) обе красными; 2) обе зелеными; 3) одна зеленой, а другая красной. Предположим, что обе марки красные.

После того как все трое ответили по одному разу, А может рассуждать так: «Марки у меня на лбу не могут быть обе красными (потому что тогда С увидел бы четыре красные марки и сразу узнал бы, что у него на лбу две зеленые марки, а если бы у С обе марки были зелеными, то В, увидев четыре зеленые марки, понял бы, что у него на лбу две красные марки). Поэтому у меня на лбу одна зеленая и одна красная марки».

Но когда А спросили второй раз, он не знал, какого цвета его марки. Это позволило В отбросить возможность того, что обе его собственные марки красные. Рассуждая точно так же, как и А, В исключил случай, когда обе его марки зеленые. Следовательно, у него осталась единственная возможность: одна марка зеленая, другая красная.

Несколько читателей быстро заметили, что задачу можно решить очень быстро, не занимаясь анализом вопросов и ответов. Вот что написал по этому поводу один из читателей: «Условия задачи полностью симметричны относительно красных и зеленых марок.

Поэтому, распределив марки между А, В и С с соблюдением всех условий задачи и заменив красные марки зелеными и, наоборот, зеленые красными, мы придем к иному распределению, для которого все условия также будут выполнены. Отсюда следует, что если решение единственно, то оно должно быть инвариантным (не должно меняться) при замене зеленых марок на красные, а красных на зеленые. Таким решением может быть только такое распределение марок, при котором у В окажется одна зеленая и одна красная марка».

Как выразился декан математического факультета Бруклинского колледжа У. Манхеймер, это изящное решение исходит из того обстоятельства, что в совершенстве владеют логикой не А, В и С (как о том сказано в условии задачи), а Рэймонд Смаллиан!