Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

в своих математических трудах. «Пока французам мешал их рационализм, русским придавала сил их вера в мистическое», – утверждают Грэхэм и Кантор.

Тут напрашиваются два разных вопроса. Во-первых, правда ли, что имяславский мистицизм помог русским в математических исследованиях? Грэхэм и Кантор убеждены, что да, и утверждают, что в этом случае «религиозная ересь поспособствовала рождению новой отрасли современной математики». Это заставляет задать второй вопрос: разве может мистицизм сыграть важную роль в обретении математических знаний, особенно знаний о бесконечности? На него авторы, убежденные антиклерикалы, отвечают уже не так уверенно. «Мы доверяем рациональной мысли больше, чем мистическому озарению», – пишут они. Но ведь то же самое можно сказать и о французских математиках, которых русские опередили. У читателя остается впечатление, что мистицизм в математике заключает в себе какое-то зерно прагматической истины – то есть это работающий метод.

Вспомним, с какими понятийными трудностями столкнулись математики к концу XIX века. Когда Кантор приступил к работе над бесконечностью, в основных понятиях математического анализа, который десятилетиями был главным математическим инструментом познания физического мира, еще царила путаница. В сущности, математический анализ имеет дело с кривыми. Две его главные операции – это поиск направления кривой в данной точке (производная) и поиск площади, ограниченной кривой (интеграл). Кривые математически описываются функциями. Одни функции красивые и гладкие, например, синусоида, они называются непрерывными. У других есть точки разрыва. Насколько разрывной может быть функция, чтобы к ней все же можно было применять методы математического анализа? Это был важнейший вопрос, ответ на который мучительно искали современники Кантора.

Оказалось, что для ответа нужна идея множества. Рассмотрим множество всех точек, где функция прерывиста и совершает скачки. Чем больше и сложнее это множество разрывов, тем «патологичнее» функция. Поэтому Кантор и обратил внимание на множества точек. Как измерить размер такого множества? Кантор попытался это выяснить, и у него получилась теория, определяющая целую иерархию бесконечностей в зависимости от их размера[17].

Теория множеств Кантора и его открытие, что бесконечности бывают «большие» и «маленькие», обеспечили все необходимое, чтобы привести математический анализ в порядок и расширить его основные понятия[18]. Работой руководили три французских математика. Эмиль Борель, математик, руководивший Эколь Нормаль Сюпериор – Высшей нормальной школой – был еще и журналистом (он выпускал авторитетное левое периодическое издание Revue du Mois), государственным служащим, видной фигурой парижского бомонда, а затем – участником Сопротивления и узником гестапо. Борель и его ученики Анри Лебег и Рене Бэр сумели избавить математический анализ от самых неприятных недочетов, касавшихся его оснований. Борель сформулировал теорию меры, без которой невозможно было изучать вероятности. Бэр разработал понятие непрерывности и изучил ее связи с производной. А Лебег представил красивую новую теорию интегрального исчисления, избавленную от самых досадных пробелов.

Все эти великолепные достижения основывались на открытии Кантора, однако французское трио относилось к нему с подозрением. Парадоксы, которые открыли Бертран Рассел и другие мыслители, пробудили у Бореля, Лебега и Бэра опасения, что теория множеств, вероятно, содержит логические ошибки. Особенно скептически они отнеслись к так называемой аксиоме выбора – нововведению немецкого математика Эрнста Цермело, который придумал ее, чтобы расширить теорию Кантора. Согласно аксиоме выбора, некоторые множества существуют несмотря на то, что для их создания нет рецепта. Предположим, например, что у вас есть множество, состоящее из бесконечного числа пар носков. Скажем, вы хотите определить новое множество, в которое входит только по одному носку из каждой пары. Поскольку носки в паре идентичны, нет правила, которое позволило бы это сделать. Тем не менее аксиома выбора гарантирует, что такое множество существует, хотя для его создания нужно произвольно выбрать по носку бесконечное число раз.

В конце концов французское трио отвергло аксиому выбора – Борель объявил, что «таким рассуждениям в математике не место», – а с ним и применение высших бесконечностей как таковых. Что это – интеллектуальная робость? Авторы Naming Infinity полагают, что да. Французское трио «дало слабину», очутившись «на краю интеллектуальной бездны, перед которой они остановились». Причем эти сомнения, как нас убеждают авторы, дорого им обошлись не только с математической, но и с психологической точки зрения. Борель отступил от абстракций теории множеств на более надежную почву теории вероятностей. «Je vais pantoufler dans les probabilités», как говорил он сам. Это очаровательное выражение означает «Я буду развлекаться с вероятностями» (по-французски pantoufler – «играть и резвиться в домашних тапочках»). Лебег «от досады» стал «несколько угрюмым». А Бэр, всегда отличавшийся хрупким здоровьем, и физическим, и психическим, провел последние годы жизни в одиночестве и покончил с собой.

Зато русское трио, работавшее в то же время параллельно с ними, с радостью приняло метафизические аспекты теории множеств. Главная фигура русского трио – Дмитрий Егоров – был человеком глубоко верующим. Как и его ученик Павел Флоренский, математик, получивший богословское образование и ставший священником (через несколько лет после Октябрьской революции Троцкий при виде отца Флоренского, выступающего на научной конференции в рясе, в изумлении воскликнул: «А это еще кто такой?!»). Флоренский стал духовным наставником другого ученика Егорова – Николая Лузина. И Егоров, и Флоренский входили в подпольный кружок имяславцев – влияние этой секты распространилось с провинциальных монастырей на московскую интеллигенцию, и Лузин, хотя и не входил в секту, симпатизировал ее философии. Все трое перенесли имяславие в математику. По всей видимости, они считали, что сам акт называния позволит им прикоснуться к бесконечным множествам, которые невозможно определить обычными математическими средствами. «Разве можно убедить себя в существовании математического объекта, не определив его?» – недоверчиво спрашивал Лебег. С точки зрения Флоренского это было все равно что спрашивать: «Разве можно убедить себя в существовании Бога, не определив Его?» Можно, конечно, считали русские – ведь само имя Господа, многократно произнесенное, несло с собой убежденность в Его существовании. (Неофициальным лозунгом имяславцев было «Имя Божие есть Бог».) Русские математики были убеждены, что достаточно просто назвать новые математические сущности – и они будут существовать.

Как имя может обладать такой волшебной силой, трудно себе представить. В современной философии есть две соперничающие теории того, как работают имена и названия. Согласно теории «дескриптивизма» (у истоков которой стоял немецкий логик Готлоб Фреге), у каждого имени или названия есть ассоциация с описанием, а предмет или явление, которые оно называет, – это то, что соответствует описанию. Например, если мы используем имя «Гомер», то имеем в виду человека, соответствующего описанию вроде «автор “Илиады” и “Одиссеи”». Более новая «каузальная» теория имен (ее отстаивает, в числе прочих, американский философ Сол Крипке) отрицает, что у