Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

названия есть ассоциированный дескриптивный смысл, и утверждает, что имя привязано к своему носителю исторической цепочкой коммуникаций, которая тянется в пространстве-времени до самого первоначального акта «крещения». Согласно одной теории, имена приклеиваются к носителям семантическим клеем, согласно другой – клеем каузальным.

Которая из этих теорий подходит для наименования математических объектов? Очевидно, не каузальная. Математик не способен вступить в каузальный контакт с бесконечностью. Нельзя показать пальцем на бесконечное множество и сказать «Нарекаю тебя А», поскольку такие множества, если они и существуют, не часть пространственно-временного мира. Единственный способ назвать бесконечное множество – это дать математическое описание, которому соответствует это множество и только оно, как предполагает дескриптивистская теория имен. Значит, назвать то или иное бесконечное множество можно, сказав: «Пусть А – множество всех рациональных чисел, чьи квадраты меньше 2». Здесь, естественно, имя дается исключительно для простоты и удобства. За собственно референцию отвечает определение. И без определения невозможно утверждать, что множество существует.

Это понимало французское трио. «Определить – это всегда назвать характерное свойство определяемого», – писал Лебег. Определить что-то – значит сказать, какое качество отличает его от всего остального. И именно такие определения допускала аксиома выбора, что, с точки зрения французов, было опасно. Так правда ли, что безудержное применение бесконечности позволило мистикам-русским сделать открытия, недоступные более осмотрительным французам? Авторы Naming Infinity утверждают, что да, но они несколько преувеличивают. Драматическую последнюю главу в логическом развитии математического анализа дописало все-таки французское трио. Каждый работающий математик близко знаком с «борелевской алгеброй», «категорией Бэра», а главное – с «интегралом Лебега». Русские математики добавили к этой главе разве что несколько сносок. (Самая знаменитая теорема Егорова, касающаяся бесконечной последовательности функций, в сущности, повторяет результат Бореля и Лебега.) Да, Лузин помог сформулировать «дескриптивную теорию множеств», отрасль теории множеств, которая применяет высшие бесконечности Кантора для описания сложных подмножеств чисел на вещественной прямой. Но называть это открытие «новым полем современной математики», как делают авторы Naming Infinity, – значит все-таки сильно преувеличивать его важность.

Подлинная заслуга Егорова и Лузина состоит в том, что они нанесли Москву на математическую карту. В начале двадцатых годов вокруг них в Московском университете сложился кружок молодых математиков, взявший себе в честь Лузина название «Лузитания». «Великий бог профессор Лузин / Укажет нам в науке путь!» – гласила ода, сочиненная одним из лузитанцев. Математическое творчество процветало, невзирая на голод и Гражданскую войну. Семинары проходили чуть ли не при минусовых температурах из-за недостатка дров, но студенты, чтобы греться, устроили каток прямо в здании математического факультета «и пели, скользя по льду вокруг главной лестницы при звездном свете».

В первые годы советской эпохи власти не обращали особого внимания на математиков, поскольку их труды были очень уж абстрактны. Егоров и Лузин не упоминали на лекциях о религии и лишь намекали на «мистическую красоту» математического мира и на то, как важно давать названия его объектам. Однако относительная вседозволенность кончилась, когда к власти пришел Сталин. Егорова заклеймили как «реакционера и сторонника религиозных верований, оказывающего опасное влияние на студентов, человека, путающего математику с мистицизмом». Его обвинителем был Эрнест Кольман, хитрый и коварный математик-марксист, которого прозвали «черным ангелом». В результате и Егоров, и Флоренский, как и другие имяславцы, были арестованы. Егоров объявил в тюрьме голодовку и умер в 1931 году. Говорят, что его последними словами были «Спаси меня, Господи, именем Твоим». Флоренского пытали и отправили в лагерь ГУЛАГа за полярным кругом, где он, по всей видимости, был казнен в 1937 году. Кольман метил и в Лузина, который в манере Монти Пайтона бомбардировал его эзотерическими математическими доводами. Но у Лузина были влиятельные заступники, и один из них обратился лично к Сталину, подчеркнув, что даже сам Ньютон был «религиозный фанатик». После унизительного судебного процесса, где помимо всего прочего Лузина обвиняли в том, что он публиковал свои работы в зарубежных журналах, его все же пощадили.

В кампании против Лузина участвовали несколько его бывших студентов, в том числе Павел Александров и Андрей Колмогоров. Оба они затмили своего наставника, а Колмогорова сейчас считают одним из полудюжины величайших математиков XX века. Колмогоров и Александров много лет были любовниками, их любимым развлечением были дальние заплывы, после которых они вместе занимались математикой неглиже. Вполне вероятно, что их враждебное отношение к Лузину было вызвано скорее профессиональным соперничеством и личной неприязнью, чем идеологией. Как-то раз Лузин оскорбил Колмогорова прямо в здании Академии наук, скаламбурив насчет мужеложства и высшей математики, после чего Колмогоров ударил его по лицу.

Московская математическая школа процветала еще долго после того, как ее основатели-мистики исчезли с научного горизонта. В послевоенную эпоху советская столица как средоточие математических талантов уступала лишь Парижу. Однако высшие бесконечности, которым поклонялись имяславцы, отошли на второй план, а на смену теории множеств, которую предпочитал Лузин, пришли методы Колмогорова и Александрова, больше соответствовавшие господствовавшим взглядам. А что касается аксиомы выбора, вызвавшей столько споров, Курт Гёдель в 1938 году доказал, что она логически согласуется с другими, общепризнанными аксиомами теории множеств, так что необходимость в мистическом обосновании отпала. Поскольку ее применение не может вызвать никаких гибельных противоречий, математики получили свободу применять ее по своему усмотрению. Теперь им не нужно задумываться о том, описывает ли она платоновский мир бесконечных множеств.

И вот он перед нами – ключ к избавлению математики от мистицизма. Оттенок мистического науке (как субъекту) придает общепринятое мнение о природе его объектов. Объекты, изучаемые химией и ботаникой, – часть физического мира, а объекты математики, как считается, обретаются в трансцендентном мире, к которому нормальные способы познания неприменимы. Но вдруг таких трансцендентных объектов просто нет? Не превращается ли тогда математика в богословие без Бога? Вдруг (как настаивают философы-номиналисты) все это просто выдумки, восхитительно сложная волшебная сказка?

В каком-то смысле да. Если не существует подлинной математической реальности, подлежащей описанию, математики вольны сочинять любые истории, то есть исследовать всевозможные гипотетические реальности, дав волю воображению. Как говорил как-то сам Кантор, «суть математики – свобода». Согласно такой картине работа математиков состоит из утверждений «если – то»: если такая-то и такая-то структура удовлетворяет тем или иным аксиомам, то такая структура должна удовлетворять тем или иным дальнейшим условиям. (Такие высказывания о математике в духе «если – то» иногда мелькают, в частности, у Бертрана Рассела и Хилари Патнэма.) Некоторые из этих аксиом, возможно, описывают гипотетические структуры, имеющие аналоги в физическом мире, и составляют «прикладную» математику. Некоторые не имеют никакого отношения к пониманию физического мира, но все же полезны в