Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

затем поставил перед собой задачу вывести из них точные параметры орбиты планеты вокруг Солнца. Задача была поистине неподъемная, если учесть, что скорость планеты и расстояние от Солнца постоянно меняются. Ньютон не сразу стал подступаться к форме орбиты, а придумал изобретательный прием: разбить ее на бесконечное число сегментов, а затем сложить воздействие гравитационной силы солнца на скорость планеты в каждом бесконечно малом сегменте.

Мгновенную скорость, понятие, которое ставило в тупик предшественников Ньютона, он определил как отношение двух исчезающе малых величин: бесконечно малого расстояния, пройденного за бесконечно малое время. Ньютон назвал такое соотношение бесконечно малых величин «производной». Вот простой пример того, как он применял бесконечно малые величины. Представим себе камень, падающий с крыши здания. По пути к земле камень постоянно ускоряется под воздействием земной гравитации. За t секунд он пролетает 16t футов, то есть к концу 1 секунды он пролетит 16 футов (=16×122), к концу 2 секунды – уже 64 фута (=16×22), а к концу 3 секунды 144 фута (=16×32) и так далее. Очевидно, скорость камня непрерывно растет. Теперь предположим, что вы ходите узнать мгновенную скорость камня в какой-то конкретный момент его падения – в момент t. Согласно рассуждениям Ньютона, такая мгновенная скорость – это отношение двух бесконечно малых величин: бесконечно малое расстояние, пройденное сразу после момента t, деленное на бесконечно малое время. Теперь вычислим это отношение, обозначив бесконечно малый отрезок времени ε. В момент t секунд камень уже пролетел 16t2 футов. Бесконечно малое время спустя, в момент t+ε, он пролетел уже 16(t+ε)2 футов. Таким образом, расстояние, которое он пролетает за это бесконечно малое время, это разность между двумя расстояниями: 16(t+ε)2-16t2 футов. Раскроем скобки и получим 16t2+32tε+16ε2-16t2 футов, что упрощается в 32tε+16ε2. Теперь, чтобы получить мгновенную скорость камня, надо поделить это бесконечно малое расстояние на бесконечно малое время, то есть на ε. Таким образом, отношение бесконечно малых выглядит как (32tε+16ε2)/ε. Сократим ε и получим 32t+16ε. Но поскольку слагаемое 16ε бесконечно мало (бесконечно малая величина, умноженная на конечное число, остается бесконечно малой), его можно, в сущности, считать равным нулю, по крайней мере, так полагал Ньютон. Следовательно, мгновенная скорость падающего камня в момент t составляет 32t фута в секунду. Через три секунды после падения камень падает со скоростью 32×3=96 футов в секунду.

Проделав по тому же принципу гораздо более сложные вычисления, Ньютон обнаружил, что планеты должны двигаться по эллиптическим орбитам с солнцем в одном из фокусов, то есть пришел в точности к эмпирическому закону, который Кеплер сформулировал на основе обширных астрономических наблюдений, сделанных в XVII веке астрономом Тихо Браге. Так Ньютон сумел объединить движение небесное и земное – а все благодаря математическому анализу бесконечно малых.

Доказательство закона об эллипсах, которое проделал Ньютон, – самое выдающееся достижение научной революции. Явное следствие из него – что природа подчиняется логике – сделало первооткрывателя святым покровителем Просвещения. В 1727 году Вольтер, побывав на похоронах Ньютона, проведенных с королевскими почестями, писал: «Недавно одна ученая компания обсуждала пустой и легкомысленный вопрос: “Кто был величайшим человеком в истории – Цезарь, Александр, Тамерлан или Кромвель?” Кто-то ответил, что это был Исаак Ньютон. И по праву: ведь нам стоит со всем почтением относиться именно к нему, к тому, кто обуздал наш разум силой истины, а не к тем, кто поработил его насилием». Одним движением Ньютон преобразил телеологически-насыщенный космос Аристотеля в упорядоченную, рациональную машину, которая может служить философам образцом для переустройства человеческого общества. Возвысив закон природы до положения объективного факта, ньютоновское мировоззрение вдохновило Томаса Джефферсона заявить, что нарушенный договор дает американцам «полученное по законам природы» право восстать против Георга III.

Однако мысль, лежавшая в основе этого триумфа человеческого разума, по-прежнему казалась многим оккультной и сомнительной. Да и сам Ньютон относился к ней, мягко говоря, с недоверием. Когда он в своих «Началах» представлял доказательство закона об эллипсах, то всеми силами постарался, чтобы анализ бесконечно малых привлекался в нем как можно меньше, и в результате проследить логику получившегося изложения, втиснутого в евклидовские рамки, оказалось невозможно. (Даже нобелевский лауреат Ричард Фейнман запутался в хитросплетениях ньютоновских рассуждений, когда рассказывал о них студентам на лекции в Калифорнийском технологическом институте.) В более поздних сочинениях Ньютон следил за тем, чтобы не рассматривать бесконечно малые сами по себе – только в отношениях, которые всегда были конечными. В последние годы жизни он и вовсе отрекся от идеи бесконечно малого.

Сильное недоверие к бесконечно малым величинам питал и Лейбниц. С одной стороны, они требовались для его метафизического принципа natura non facit saltum («природа не делает прыжков»); без этих амфибий, плавающих между существованием и несуществованием, переход от возможности к реальности был, похоже, немыслим. С другой стороны, они сопротивлялись любым попыткам строгого определения. Как Лейбниц ни старался, он только и мог, что множить аналогии, сравнивая, например, песчинку с земным шаром, а земной шар со звездами. Но когда его ученик Иоганн Бернулли привел в пример крошечных созданий, которых удалось разглядеть в микроскоп (только что изобретенный Левенгуком), Лейбниц возмущенно возразил, что эти малюсенькие существа все же имеют конечный, а не бесконечно малый размер. В итоге он решил, что бесконечно малые величины – просто fictiones bene fundatae («хорошо обоснованные выдумки»): они помогают делать изящные открытия, не приводят к ошибкам, однако на самом деле не существуют. Однако Джорджу Беркли этого было мало. В 1734 году он опубликовал гневную филиппику в адрес математического анализа бесконечно малых под названием «Аналитик, или Обращение к нечестивому математику» (The Analyst; or, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician). Его подтолкнул к этому растущий престиж науки механики, таящий в себе угрозу ортодоксальному христианству («нечестивый математик», к которому он обращается, – это, как принято считать, друг Ньютона Эдмунд Галлей). Беркли утверждал, что догматы христианского богословия, как бы ни противоречили они логике (как иногда представляется на первый взгляд), не могут состязаться в туманности и нелогичности с опорой новой науки – бесконечно малым. Сторонники математического анализа были поставлены перед дилеммой: или бесконечно малые величины равны нулю, а в этом случае вычисления, предполагающие деление, теряют смысл, или они не равны нулю, а тогда ответы неверны. Быть может, насмешливо заключал Беркли, нам лучше всего считать бесконечно малые величины «призраками ушедших чисел».

А между тем по ту сторону Ла-Манша Вольтер, в числе прочих, ничуть не волновался из-за тонкостей, связанных с понятием бесконечно малых; он