Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

нас появилось доказательство, убедительное в обычной теории арифметики. Но последняя строчка этого доказательства все равно гласит «0=1». Значит, мы только что доказали, что обычная арифметика противоречива!

Если обогащенная теория T* противоречива, значит, обычная теория T тоже должна быть противоречива. И наоборот, если обычная теория T непротиворечива, значит, обогащенная теория T* тоже должна быть непротиворечива. Так что если надстроить обычную арифметику бесконечно малым и связанными с ним аксиомами, это не повышает риск противоречивости. Обычных парадоксов, которые ассоциируются с бесконечно малым, удается избежать, поскольку ни одна из новых аксиом по отдельности не говорит, что INF меньше всех положительных чисел. Для такого утверждения нужен весь бесконечный список новых аксиом целиком. Но втиснуть весь список в конечное доказательство невозможно.

Поэтому, как показал Робинсон, можно безо всяких опасений предполагать, что T* непротиворечива. Но это еще не все. Заручившись доказательством непротиворечивости, мы можем привлечь теорему Гёделя о полноте, которая гласит, в сущности, что непротиворечивости достаточно для реальности. Непротиворечивая теория гарантированно обладает моделью – существует абстрактная вселенная, которую эта теория описывает, и это описание истинно. В случае обогащенной теории T* эта модель «нестандартна»: она содержит всевозможные экзотические сущности в дополнение к обычным конечным числам, используемым в арифметике. Среди сущностей, обитающих в этой нестандартной вселенной, есть и бесконечно малые числа. Они окружают каждое конечное число плотным крошечным облачком, которое Робинсон из уважения к Лейбницу назвал «монадой».

∞

Озарение по поводу бесконечно малого посетило Робинсона в 1961 году, когда он приехал в Принстон в творческий отпуск; говорят, это случилось у входа в Файн-Холл. Через пять лет Робинсон опубликовал работу «Нестандартный анализ» (Non-standard Analysis), где подробно разобрал математический потенциал своего открытия. Эпиграф для своей книги Робинсон взял из повести Вольтера «Микромегас» о гигантском инопланетянине, который в изумлении обнаруживает, какие микроскопические по его меркам люди населяют Землю: «Je vois plus que jamais qu’il ne faut juger de rien sur sa grandeur apparente. O Dieu! qui avez donnéune intelligence á des substances qui paraissent si méprisables, l’infiniment petit vous coûte autant que l’infiniment grand» («Теперь я более чем когда-либо убежден, что ни о чем нельзя судить по его размерам. Господи, ты даровал разум столь неприметным, крохотным существам! Для тебя сотворить бесконечно малое так же просто, как бесконечно большое»[21]).

Любопытно, что добавление бесконечно малых к вселенной математики, которое удалось осуществить Робинсону, никоим образом не меняет свойств обычных конечных чисел. Все, что можно сказать о них и доказать при помощи рассуждений с участием бесконечно малых, – вопрос чистой логики и может быть доказано и обычными способами. Однако едва ли это означает, что подход Робинсона бесплоден. «Нестандартный анализ» Робинсона возродил к жизни интуитивные методы, которые первыми разведали Ньютон и Лейбниц, и доказательства, полученные его способами, лаконичнее, глубже и менее ad hoc, чем аналогичные стандартные. Робинсон и сам сразу же применил нестандартный анализ для решения одной крупной проблемы в теории линейных пространств, не поддававшейся другим математикам. А в дальнейшем нестандартный анализ обрел много сторонников в международном математическом сообществе, особенно во Франции, и с большим успехом применялся в теории вероятностей, физике и экономике, где прекрасно моделирует, предположим, бесконечно малое воздействие отдельного торговца на ценообразование.

Помимо этого открытия в математической логике Робинсону принадлежит и другая заслуга: он осуществил одну из величайших реабилитаций в истории идей. Он сумел избавить идею бесконечно малого от малейших подозрений в противоречивости спустя две с лишним тысячи лет после того, как эта идея зародилась, сразу вызвав массу вопросов, и почти век с тех пор, как от нее избавились, казалось, навсегда. Но при этом вопрос об онтологическом статусе бесконечно малого остался открытым. Разумеется, среди мыслителей есть и такие, кто считает, что любой математический объект, не содержащий противоречий, обладает реальностью, выходящей за пределы чувственного мира. Подобной платонической философии придерживался и сам Робинсон на заре своей карьеры, но в дальнейшем он отказался от нее в пользу взглядов Лейбница, согласно которым бесконечно малые числа – это всего лишь «хорошо обоснованная выдумка».

Какова бы ни была реальность бесконечно малых, они реальны не в меньшей степени, чем обычные числа – положительные, отрицательные, рациональные, иррациональные, вещественные, мнимые и так далее. Когда мы говорим о числах, как учит современная логика, наш язык просто не может провести разграничение между нестандартной вселенной, доверху полной бесконечно малыми, и стандартной, где их нет. Однако остается осмысленным вопрос о том, обладают ли бесконечно малые физической реальностью, играют ли они роль в архитектуре природы.

Можно ли бесконечно делить вещество, пространство и время? Это заставляет вспомнить извечный метафизический вопрос, который (как говорят) облек в новую метафорическую форму Бертран Рассел: что есть реальность – груда песка или ведро патоки? В нашем веке вещество проанализировали до уровня атомов, а потом оказалось, что они, в свою очередь, состоят из протонов и нейтронов, а те – из частиц еще меньше, так называемых кварков. Можно ли считать, что на этом все? Вправе ли мы называть кварки «песчинками» вещества? Есть некоторые данные, что и у кварков имеется внутренняя структура, однако для изучения этой структуры нужно столько энергии, что физики никогда не сумеют ее накопить. Что касается пространства и времени, согласно современным спекулятивным теориям, они тоже могут иметь прерывистую, как у песка, структуру на самом маленьком масштабе, где минимальная длина – это планковская длина 10 сантиметров, а минимальное время – планковское время 10–33–43 секунд (говорят, ровно столько времени требуется нью-йоркскому таксисту, чтобы просигналить, когда зажегся зеленый свет). И снова сторонники бесконечной делимости всегда могут сказать, что будь у нас больше энергии, мы открыли бы масштабы пространства-времени еще меньше – новые миры внутри миров. А еще они могут указать на сингулярность, из которой родилась наша Вселенная при Большом взрыве – бесконечно маленькое средоточие энергии. Что лучше бесконечно малого послужит началом всего сущего, онтологическим посредником между бытием и ничем?

Однако самое яркое представление о бесконечно малом даст, пожалуй, ощущение конечности нашего бытия перед лицом вечности – мысль, которая одновременно и способствует смирению, и пробуждает гордость. Эта мысль и ее ассоциации с бесконечно малым очень трогательно прозвучала в монологе Скотта Кэри, героя фильма «Невероятно уменьшающийся человек», снятого в 1950-е годы. В финале он под воздействием фантастического излучения уменьшается до того, что вот-вот исчезнет. «И вот я уменьшался и уменьшался – и во что же превратился? В бесконечно малое», – говорит он, а затем задумчиво произносит под звездным небом