Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

отмели канторовскую бесконечность бесконечностей как «туман на тумане» и «математическое безумие». У Кантора сложилось впечатление, что эти критики преследуют его, что усугубило его нервное расстройство (судя по всему, у него был маниакально-депрессивный психоз). В промежутках между постоянными срывами и госпитализациями он размышлял над теологическими следствиями из бесконечного и с неменьшим пылом разрабатывал теорию, что шекспировские пьесы написал Бэкон.

Теория Кантора «прямо подтверждает, что человеческий интеллект способен понимать бесконечные множества и манипулировать ими, то есть по-настоящему ими овладеть», – писал Уоллес в Everything and More. И добавил, что героическим подвигом это достижение делает чудовищная абстрактность бесконечности: «Это своего рода предельный отход от реального опыта», отрицание «самой что ни на есть вездесущей и гнетущей черты конкретного мира: все кончается, все имеет границы, все проходит». Уоллес ясно понимал все «ужасы и опасности» абстрактного мышления. Две тысячи лет считалось, что идея бесконечности ставит под угрозу душевное здоровье. И именно Кантор при всем своем безумии сумел укротить бесконечность и показал, что ее можно осознать и не сойти при этом с ума.

Доступно и понятно писать об абстрактных математических идеях, оказывается, тоже опасно. Например, очень легко впасть в излишнюю цветистость. В одной очень популярной книге о математическом анализе сказано, что «декартова плоскость координат полна странной, торжественной тишины», в книге о нуле написано, что это число – «тень в косых лучах страха». Легко впасть и в мистицизм. Математик Амир Д. Ацель в книге «Загадка алефа» (Aczel, A. D., The Mystery of the Aleph), написанной за несколько лет до книги Уоллеса о бесконечности, пытается сделать из Георга Кантора каббалиста, проникнувшего в «заповедный сад Господа». «Бесконечность и разум» Руди Ракера (Rucker, R., Infinity and the Mind), потрясающее исследование, обладающее подлинной математической глубиной, зачем-то обращается к дзен-буддизму. С другой стороны, маленькая классическая книга «Игры с бесконечностью» венгерского логика Ружи Петер, умершей в 1977 году (Péter, R., Playing with Infinity), обладает и прозрачностью, и обаянием безо всякого эзотерического флера. Но все популяризаторы при всех их недочетах на совесть выполнили неподъемную работу, без которой невозможно сделать понятными новичку абстрактные идеи, пусть даже самые прекрасные. Упрощение и умолчание позволило им дать первое приближение к подлинной ясности.

Напротив, работу Уоллеса едва ли можно назвать популяризацией. Сам Уоллес уверял читателя, что это «популярно-техническое сочинение», и утверждал, будто его собственное математическое образование едва выходит за рамки средней школы. Однако пойти на обычные компромиссы он отказался. Текст Everything and More зачастую плотен, как учебник по математике, хотя значительно более хаотичен. Мне еще не попадались научно-популярные книги по математике, в которых было бы столько технических подробностей, тем более что работа Уоллеса претендует на «компактность» (он называет свою книгу «брошюрой», но на самом деле в ней больше трех сотен страниц, впрочем, в строго математическом смысле она и вправду компактна, поскольку имеет начало и конец и может быть закрыта). Мотивы Уоллеса достойны восхищения: он решил написать книгу, которая была бы лучше «иных недавних популярных сочинений, которые рассказывают о доказательствах Кантора так плоско и убого… что математика искажается, а красота меркнет». Но когда автор не слишком уверенно владеет своим материалом, он рискует пожертвовать ясностью в угоду зрелищности, жонглируя формулами и терминами, что твой фокусник. Уоллес предлагал читателям, новичкам в мире математики бесконечностей, попросту «наслаждаться символогией». Он писал, что некоторые термины – «недостижимое порядковое», «трансфинитная рекурсия» – «приятно произносить, даже если не особенно представляешь себе, что они обозначают». Уоллеса очень привлекала эстетическая сторона учебников по математике, и это, вероятно, также объясняет его любовь к заглавным буквам и аббревиатурам («что касается» превратилось в «ч/к», Галилей – в ГГ, а «Божественное братство пифагорейцев» – в ББП); впрочем, эта любовь часто проявлялась и в его художественных произведениях.

И все же энтузиазм Уоллеса по поводу теории бесконечности очевиден на каждой странице (не в последнюю очередь в его убеждении, что Кантор – «важнейший математик XIX века», с которым согласятся лишь немногие математики и историки науки). И даже если местами он путается, то только потому, что отважно форсирует самые непреодолимые глубины. Вопрос в том, поспевает ли за ним читатель.

Если книга отличается сложностью, но не строгостью, вероятно, ее не стоит советовать тем, кто ищет математического просветления. Все-таки работа Уоллеса обеспечивает исключительно литературный опыт. Учитывая природу такого опыта, можно, пожалуй, поискать подсказку в том, как отозвался о великом открытии Кантора Людвиг Витгенштейн. А Витгенштейн решил, что трепет, который испытываешь, осознав, что одни бесконечности больше других, это чисто «школярское удовольствие». В его теории нет ничего божественного, она не описывает мир вечных, трансцендентных, едва вообразимых сущностей – на самом деле это не более чем собрание (конечных) умственных фокусов. Витгенштейн заметил, что можно представить себе, что теорию бесконечных множеств «создал какой-то сатирик в виде пародии на математику». А тогда, должно быть, Уоллес, обладавший трансцендентным талантом сатирика, все же совершил нечто значительное – создал лукавую пародию на популярно-техническую литературу. «Пародия на математику»… Если назвать так труды Кантора по бесконечности, это, разумеется, обидно и несправедливо. А если описать этими словами книгу Уоллеса, может статься, это было бы воспринято как дань восхищения.

Глава двенадцатая. Обожествление бесконечности. Почему русские ей поклоняются, а французы нет

Математику издавна принято связывать с мистикой. Высшую математику придумали пифагорейцы – секта, верившая, в частности, в переселение душ и считавшая грехом поедание бобов. Даже сегодня от математики нет-нет да и повеет чем-то мистическим. Многие математики, даже выдающиеся, открыто признаются в вере в царство совершенных математических сущностей, парящее в вышине над грубым эмпирическим миром, то есть, по сути, в платоновские небеса.

В число таких платоников входит и Ален Конн, заведующий кафедрой анализа и геометрии в Коллеж де Франс. Лет двадцать назад в диалоге с нейробиологом Жан-Пьером Шанже Конн заявил о своем убеждении, что «существует исходная неизменная математическая реальность, не зависящая от человеческого разума», причем она «обладает реальностью значительно более неизменной, чем окружающая нас физическая реальность». Непоколебимо платонических взглядов придерживается и сэр Роджер Пенроуз, почетный профессор математики в Оксфорде на кафедре Роуза Болла: он считает, что мир природы – всего лишь «тень» платоновского царства вечных математических форм.

Такие сверхъестественные представления о математике первым обосновал сам Платон в своем «Государстве». Он заметил, что геометры говорят об идеально круглых кругах и идеально прямых линиях, однако в осязаемом мире их не найдешь. То же самое можно сказать даже и о числах, полагал Платон,