Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

на которой у каждой области было бы по меньшей мере шесть соседок, то, сосчитав области, границы и точки пересечения и подставив их в формулу Эйлера, мы получили бы экстраординарный результат 0=2. Противоречие! Значит, на каждой карте обязательно найдется область, граничащая не более чем с пятью другими.

Теперь, когда у нас есть этот результат, доказать гипотезу шести красок – дело одной минуты. Предположим, существуют криминальные карты, требующие больше шести цветов. Возьмем минимальную криминальную карту. Проделаем старый добрый фокус со сжатием, раскрашиванием и восстановлением. Поскольку предполагаемая минимальная криминальная карта, как и все карты, должна содержать по крайней мере одну область, у которой не больше пяти соседок, выберем эту область и сожмем ее в точку. Раскрасим редуцированную карту, которая должна быть законопослушной, шестью красками. Теперь восстановим сжатую область. Поскольку у нее пять и меньше соседок, поэтому мы ее и выбрали, для нее должен остаться незадействованным один из шести доступных цветов. Это противоречит предположению, что эта карта – минимальная криминальная, поэтому гипотеза шести красок становится настоящей теоремой.

Логике, которая стоит за всем этим, недостает прямизны. Но если сделать надлежащее усилие, можно удержать ее в голове и «увидеть», почему теорема четырех красок верна. Доказательство это неожиданно и убедительно одновременно – можно сказать, оно даже остроумно. Увы, с эстетической точки зрения оно ничем не лучше самой проблемы. Метод, которым Кемп в 1879 году попытался свести шестицветный минимум к желаемым четырем цветам, был зубодробительно сложным. Но он не опирался на подлинно глубокие математические идеи. И к тому же содержал ошибку. Тем не менее Хивуд, обнаружив эту ошибку, сумел спасти достаточную часть логических рассуждений, чтобы показать, что любую карту можно раскрасить не более чем пятью красками.

В число заинтересовавшихся проблемой четырех красок входил и Фредерик Темпл, епископ Лондонский, а в дальнейшем архиепископ Кентерберийский, который тоже опубликовал ошибочное доказательство, и французский поэт Поль Валери, оставивший десяток страниц основательных рассуждений об этой проблеме в своем дневнике за 1902 год. Некоторым исследователям казалось, что от этого досадного вопроса удастся избавиться, как только к нему приложит руку какой-нибудь по-настоящему первоклассный математик. Предложить доказательство попытался на своей лекции в Гёттингенском университете великий Герман Минковский, однако, потратив на него несколько недель занятий, он объявил студентам: «Моя дерзость прогневила небеса, мое доказательство тоже ошибочно». Другие известные математики предпочли этой проблемой не заниматься – возможно, это было мудрое решение. Ведь она лежит в стороне от математического мейнстрима. Насколько было известно ученым, от ее истинности или ложности не зависело ничего важного. Когда в 1900 году на международной конференции в Париже Давид Гильберт, вероятно, самый выдающийся математик своего времени, сформулировал 23 важнейшие математические задачи, гипотезы четырех красок среди них не было.

И все же известность и неподатливость этой гипотезы делали ее непреодолимо соблазнительной для математиков по обе стороны Атлантики (причем некоторые потом жалели, что потратили на нее время). Атаковали они ее в целом с той же стороны, что и Кемп: стратегия состояла в том, чтобы найти все лазейки, оставляющие простор для контрпримеров гипотезы четырех красок, а затем закрыть эти лазейки. Но для этого количество лазеек должно было быть конечным, а иначе их нельзя было бы учесть все до единой и показать, что их можно закрыть. На протяжении XX века одни математики находили изобретательные способы исчерпывающим образом описать все множество лазеек, а другие находили не менее изобретательные способы их закрыть. Проблема состояла в том, что множества лазеек («неизбежные множества») были до нелепого огромными, число входящих в них конфигураций на картах доходило до десяти тысяч. А закрыть каждую лазейку, то есть показать, что рассматриваемая конфигурация редуцируема, зачастую было делом неподъемно трудоемким – настолько, что живому математику оно оказывалось не по силам. Однако к шестидесятым годам несколько ученых, работавших над этой задачей, заподозрили, что процесс проверки лазеек можно существенно упростить, если описать его механическим алгоритмом. Это заставило рассмотреть интересный вариант: возможно, доказать гипотезу четырех красок удастся с помощью компьютера.

Следует отметить, что математики приветствовали компьютерную эру без особого восторга. По традиции, еще со времен Пифагора, они уповали на то, что для познания новых истин нужно просто как следует подумать. Принято было говорить, что математический факультет стоит на втором месте по дешевизне в любом университете, поскольку для его работы нужны только бумага, карандаши и мусорные корзины (дешевле только философский: там обходятся без корзин). Уже в 1986 году один стэнфордский математик хвастался, что на его кафедре меньше всего компьютеров – даже меньше, чем на кафедре французской литературы.

Так или иначе, проблема четырех красок поначалу казалась непосильной даже для компьютера. Получалось, что самая быстрая из существующих машин будет перебирать все случаи больше ста лет. Однако в начале семидесятых Вольфганг Хакен, математик из Университета штата Иллинойс, усовершенствовал методологию и совместно с талантливым программистом Кеннетом Аппелем наладил с компьютером своеобразный диалог, целью которого было сократить количество лазеек и закрывать их производительнее. Впоследствии Хакен сказал о своем компьютере: «Он вырабатывал сложные тактики на основании всех трюков, которым его “научили”, и его методы зачастую были куда хитрее тех, которые пробовали мы». Аппель и Хакен не знали, что параллельно по всему земному шару – и в Онтарио, и в Родезии, и в Гарварде – другие исследователи приближаются к решению задачи при помощи похожих методов. А по крайней мере один математик не оставил попыток создать сложную карту, требующую пяти цветов. В июне 1976 года, после четырех лет упорных трудов, для которых потребовалось 12 тысяч часов компьютерного времени и неоценимая помощь одного профессора литературы из Монпелье, Аппель и Хакен получили свой результат: четырех цветов и правда хватит. Не прошло и месяца, как об этом рассказала лондонская Times (более осторожная New York Times выждала две недели, прежде чем признавать, что задача решена, и редакционную колонку для нее написал выдающийся математик из Колумбийского университета Липман Берс). Гипотеза четырех красок превратилась в теорему четырех красок.

Или все-таки нет? Как бы ни отнесся к этой новости большой мир, многие математики морщили нос, узнав некоторые подробности. «Признание, что компьютерные шуточки Аппеля и Хакена – это тоже математика, оставляет у нас ощущение интеллектуальной неудовлетворенности», – заметил один из них. Для недовольства выделялись три группы причин. Первая – эстетическая. Доказательство было некрасивым, прямолинейным, как бульдозер; перечисление случаев не таило никакого очарования и прелести для интеллекта. Как заметил когда-то Г. Г. Харди, «в мире нет места безобразной математике».

Вторая группа причин имела