Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

отношение к применимости. Хорошее доказательство должно содержать новые доводы и выявлять скрытые структуры, которые можно применить в других областях математики. А доказательство Хакена и Аппеля в этом отношении казалось совершенно бесплодным. К тому же оно ничего не говорило о том, почему, собственно, теорема четырех красок верна. Хакен и Аппель просто выдали ответ на вопрос, похожий на «чудовищное совпадение», как выразился один математик.

Третья и главная группа причин относилась к эпистемологии. Действительно ли достижение Хакена и Аппеля позволяет нам с полным правом утверждать, что теперь мы знаем, что гипотеза четырех красок верна? Доказательство ли это? В идеале доказательство – это рассуждение, которое можно перевести на формальный язык и проверить законами логики. На практике математики никогда не затрудняются подобными формальными доказательствами, которые могут быть крайне неуклюжими. Они предпочитают делать свои доводы разумно строгими, проговаривая достаточно шагов, чтобы убедить специалистов в своей области. Чтобы довод был убедительным, он должен быть «исследуемым», то есть нужно, чтобы человеческий разум мог осознать и проверить его. А доказательство Хакена и Аппеля явно к таким не относилось.

Человеческая часть доказательства, состоящая примерно из семисот страниц, сама по себе обескураживала. А часть, так сказать, in silico, которая в виде компьютерной распечатки была четыре фута высотой, в принципе не могла быть проверена людьми, даже если бы за это взялись все математики планеты. Как будто бы кульминационную сцену доказательства пересказывал оракул в виде долгой череды «Да, да, да». Если бы хотя бы одно из этих «да» оказалось «нет», все доказательство пошло бы насмарку. Откуда нам знать, что в компьютерную программу не вкрался «баг»? Чтобы проверить результат Хакена – Аппеля, рецензенты были вынуждены сами запустить независимую компьютерную программу – как физик попытался бы повторить эксперимент, проведенный в другой лаборатории. Философ Томас Тимошко в своей авторитетной статье, опубликованной в 1979 году в The Journal of Philosophy и называвшейся «Проблема четырех красок и ее философское значение» (Thomas Tymoczko, The Four-Color Problem and Its Philosophical Significance) утверждал, что подобные компьютерные эксперименты привносят в математику элемент эмпирики. В наши дни почти все математики уверены, что теорема четырех красок верна, но их уверенность основана на данных, подлежащих исправлению. Теорема не удовлетворяет платоновскому идеалу ясного, абсолютного, априорного знания, и это подозрительно. Самое большее, что мы можем сказать, – что она, вероятно, верна, подобно физическим теориям, стоящими за действиями машины, которая помогла доказать ее.

Доказательство теоремы четырех красок стало прорывом, знаменовавшим сдвиг в математической практике. С тех пор с помощью компьютеров было доказано несколько других гипотез (особо стоит отметить доказательство несуществования конечной плоскости порядка 10, выведенное в 1988 году). Между тем математики подчистили доказательство Хакена – Аппеля, и теперь компьютерная часть стала гораздо короче, так что кое-кто надеется, что когда-нибудь будет найдено традиционное доказательство теоремы четырех красок, которое подарит нам и красоту, и просветление. Ведь именно жажда просветления подвигла столь многих на работу над этой проблемой на протяжении ее долгой истории и даже на то, чтобы посвятить ей жизнь. (Один математик заставил молодую супругу раскрашивать карты во время медового месяца.) Даже если сама по себе теорема четырех красок относится скорее к математическим развлечениям, в ходе неудачных попыток ее доказать было получено много полезной математики. К тому же она, несомненно, обеспечила философам последних нескольких десятилетий огромные запасы пищи для ума. Что же до более общих ее результатов, тут трудно быть в чем-то уверенным. Рассматривая карту Соединенных Штатов на форзаце толстого словаря, который я когда-то выиграл в состязании грамотеев среди нью-йоркских журналистов, я с легким удивлением заметил, что раскрашена она ровно четырьмя красками. Как печально, что штаты Арканзас и Луизиана, у которых есть общая граница, оказались раскрашены синим.

Часть пятая. Бесконечность большая и малая

Глава одиннадцатая. Видения о бесконечном. Георг Кантор против Дэвида Фостера Уоллеса

Едва ли какая-то идея по богатству истории способна потягаться с идеей бесконечности. Она зародилась среди древних парадоксов, две тысячи лет ставила философов в тупик, а затем, в конце XIX века, отважный интеллектуальный подвиг заставил ее выдать свои тайны – впрочем, взамен она оставила целую кучу новых парадоксов. Проследить за развитием сюжета можно безо всякого специального образования: основные открытия, несмотря на обеспечившую их изобретательность, можно описать несколькими закорючками на салфетке во время вечеринки с коктейлями. Все это делает бесконечность непреодолимо соблазнительным материалом для популяризатора науки, и за долгие годы о ней появилось довольно много книг.

Самой выдающейся фигурой, попробовавшей себя в этом деле, был Дэвид Фостер Уоллес. Как вправе заподозрить читатели «Бесконечной шутки», ее автор обладал глубоким и тонким пониманием математики и метафизики. А книга «Все и еще немножко. Компактная история ∞» (Wallace, D. F., Everything and More: A Compact History of ∞), написанная за пять лет до самоубийства Уоллеса в 2008 году в возрасте 46 лет, стала попыткой посвятить несведущего в математике читателя в тайны бесконечного.

В сущности, странно, что конечные существа вроде нас умудрились что-то узнать о бесконечности, если учесть, что мы не способны непосредственно воспринимать ее. Декарт полагал, что представление о бесконечности у нас врожденное, однако поведение детей это опровергает: в ходе одного исследования младшие школьники «рассказывали, что “считают и считают” в попытке добраться до последнего числа и после долгих усилий приходят к выводу, что его не существует». Так ли иначе, человек, который приложил больше всех стараний, чтобы облечь бесконечность в теорию, утверждал, что озарения дарованы ему Богом, и окончил свои дни в сумасшедшем доме.

Вообще говоря, есть две версии бесконечности. Относительно путаная и мистическая, которую можно назвать метафизической бесконечностью, ассоциируется с идеями вроде совершенства, абсолюта, Бога. Относительно строгая математическая бесконечность – это как раз та бесконечность, о которой решил рассказать Уоллес. Она коренится в идее отсутствия предела: время, которое течет вечно, пространство, которое можно подразделять безо всяких ограничений, числа, которые можно генерировать сколько угодно. Метафизическая бесконечность имеет тенденцию пробуждать в тех, кто над ней размышляет, благоговейный восторг, а математическая на протяжении большей части западной интеллектуальной истории служит объектом крайних подозрений и даже презрения. Впервые она появилась в V веке до н. э. в парадоксах Зенона Элейского. Зенон утверждал, что если пространство можно делить бесконечно, то быстроногий Ахиллес никогда не обгонит черепаху: за то время, пока он окажется там, где была черепаха, та уползет немного дальше – и так до бесконечности, ad infinitum. Такие