Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

тело. Он постановил, что ярдом следует считать расстояние от кончика носа короля до кончика большого пальца его вытянутой руки. Но и у этого решения, разумеется, были свои недостатки, так как длина ярда могла изменяться каждый раз, когда на престол вступал новый монарх.

Вожди Французской революции полагали, что следует ввести эгалитарную систему измерений, доступную всем. Галилей доказал, что период колебаний маятника зависит от его длины, а не от веса или размаха колебаний. Сначала предложили считать метром длину маятника, колеблющегося с периодом две секунды. Однако выяснилось, что период колебаний зависит еще и от силы тяжести, которая бывает разной в разных точках мира.

Тогда решили определить метр как одну десятимиллионную часть расстояния от полюса до экватора. Хотя в принципе измерить это расстояние мог кто угодно, вскоре стало ясно, что на практике такое определение неудобно. Измерить расстояние от полюса до экватора и привезти в Париж точный метр поручили двум ученым, Пьеру Мешену и Жану-Батисту Деламбру. Но, как понял еще Эратосфен, для этого было вовсе не обязательно измерять все расстояние. Двое ученых решили измерить расстояние между Дюнкерком и Барселоной – городами, находящимися приблизительно на одной и той же долготе. Затем они собирались вывести из результатов этих измерений расстояние от полюса до экватора – так же, как сделал Эратосфен.

Деламбр начал свой путь с севера, из Дюнкерка, а Мешен, которому был поручен южный участок, – из Барселоны. Они договорились встретиться посередине, в южнофранцузском городе Родезе[55]. Но как они вычисляли расстояния? Прежде всего им нужна была стандартная мера длины, которую оба использовали бы в своих измерениях. Но даже при наличии такой меры они не могли перекладывать такую линейку на всем пути от Дюнкерка до Барселоны.

Тут-то и пригодились возможности тригонометрии и треугольников. Деламбр поднялся на колокольню одной из церквей Дюнкерка и нашел на некотором расстоянии две другие возвышенные точки, которые могли служить двумя другими вершинами треугольника. Ему пришлось измерить расстояние от колокольни до одной из этих точек. Этой тяжелой работы было не избежать. Но после этого, используя измеренные величины двух углов треугольника, он мог вычислить длины двух других его сторон. Для измерения углов ему послужил прибор, который назывался повторительным кругом Борда. Он состоял из двух телескопов, установленных на общей оси, и шкалы для измерения угла между ними. Деламбр направил телескопы на две возвышенные точки, которые он видел с вершины колокольни, и просто записал величину угла между телескопами.

Переместившись в другую вершину треугольника, он измерил второй угол. Затем в игру вступила тригонометрия, позволившая ему найти длины двух недостающих сторон. Но по-настоящему хитроумный шаг был сделан после этого. Одна из этих сторон, длину которой Деламбр теперь знал, стала стороной нового треугольника, который он построил, выбрав следующую возвышенную точку, видную из двух точек, которые он выбрал с колокольни церкви в Дюнкерке. Длину одной из сторон этого нового треугольника он уже знал. Следовательно, чтобы вычислить еще неизвестные длины сторон нового треугольника, ему нужно было только измерить два угла при помощи повторительного круга Борда.

Рис. 4.3. Тригонометрия позволяет вычислить расстояние от C до A и B по известному расстоянию между точками A и B и углам a и b

Это был великолепный шорткат. Ученым, последовательно строившим треугольники на всем пути от Дюнкерка до Барселоны, нужно было измерить лишь одну-единственную сторону одного-единственного треугольника: после этого оставалось измерять только углы при вершинах. Триангуляция открывает поразительный шорткат к геодезическим съемкам. Можно измерять углы, удобно устроившись на возвышенностях, образующих вершины треугольников. Не нужно измерять расстояние шагами или мерными рейками.

Но и в подъеме на возвышенности и наблюдениях в телескопы были свои опасности. Время было не самым подходящим для проведения геодезических съемок с телескопами и прочими непонятными приборами. Вокруг бушевала революция. В ходе измерений, которые оба ученых проводили по всей Франции, поднимаясь на башни и залезая на деревья, на них неоднократно нападали местные жители, принимавшие их за шпионов. В Бель-Ассизе, к северу от Парижа[56], Деламбра арестовали по подозрению в шпионаже. Зачем еще ему понадобилось бы забираться на башни с такими странными приспособлениями? Он попытался объяснить, что занимается измерением размеров Земли по заданию Академии наук, но его перебил пьяный ополченец: «Нет больше никакой кадемии. Теперь все равны. Ну-ка пошли с нами». В конце концов, семь лет спустя, Деламбр и Мешен триумфально вернулись в Париж со своим метром.

Был отлит платиновый стержень, длина которого соответствовала результатам их расчетов, и начиная с 1799 года эталон метра хранился во французских архивах. Но и он в некотором смысле обладал тем же недостатком, что и ярд Генриха I. Хотя его определение было универсальным, ученым по-прежнему было проще съездить во Францию и снять с этого метра копию, которую затем можно было использовать для измерений, чем самостоятельно изменять расстояние от полюса до экватора.

От Лондона до Эдинбурга

Когда Деламбр и Мешен договаривались о месте встречи, было логично выбрать точку на полпути от Дюнкерка до Барселоны. Но как быть с 15 персонажами нашей головоломки, приведенной в начале этой главы? Где должны встретиться эти 15 человек, если пятеро из них находятся в Лондоне, а остальные десять – в Эдинбурге, и они хотят, чтобы суммарное расстояние, которое они проедут, было наименьшим? Как ни странно, им следует встретиться в Эдинбурге. На первый взгляд может показаться, что, раз соотношение численности этих групп равно 2 к 1, то и встретиться им следует в точке, соответствующей двум третям пути из Лондона в Эдинбург. Но каждая миля, которую шотландцы проезжают от Эдинбурга, прибавляет к общей сумме лишние 10 миль, а англичанам экономит всего 5.

В более общем случае, если эти 15 человек распределены случайным образом по всей линии Лондон – Эдинбург, шорткатом для всех них будет поехать в точку, в которой находится средний человек, восьмой, считая от Лондона (или от Эдинбурга). Исходя из того же принципа, отступление от восьмого человека на каждую милю дает одной группе экономию в 7 миль и добавляет другой лишние 7 миль пути (так что эти изменения взаимно сокращаются), но восьмой человек добавляет к общей сумме одну лишнюю милю.

Представим себе еще более общий случай: пусть 15 человек