Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

Геодезические

Если вы развернете карту мира, чтобы начертить на ней кратчайший, по вашему мнению, маршрут перелета между Мадагаскаром и Лас-Вегасом, вашим первым побуждением, возможно, будет провести прямую линию, соединяющую эти две точки на карте. Именно такой, казалось бы, должна быть народная тропа, вдоль которой летают самолеты (или птицы). Но этот маршрут не учитывает кривизны Земли. Настоящая народная тропа, самый короткий маршрут, проложенный по поверхности сферы, проходит над Великобританией и Гренландией, вдалеке от исходной прямой, проведенной на плоской карте.

Рис. 4.4. Самый быстрый маршрут от Мадагаскара до Лас-Вегаса проходит через Великобританию

Кратчайший путь между двумя точками на поверхности сферы – так называемая геодезическая (или геодезическая линия) – проходит вдоль так называемого большого круга. Большой круг подобен меридиану, проходящему через два полюса. Собственно говоря, если взять меридиан и сдвинуть его так, чтобы он проходил через две точки, которые вы пытаетесь соединить, это и будет проходящий через них большой круг.

Если начать изучать следствия из особенностей таких шорткатов по поверхности глобуса, обнаруживаются некоторые весьма любопытные обстоятельства. Возьмем, например, три точки – Северный полюс, город Кито в Эквадоре и город Найроби в Кении. Последние два города расположены довольно близко к экватору. Кратчайшие пути между этими тремя точками образуют на поверхности Земли треугольник. В классической евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180 градусам. Но если рассмотреть сумму углов этого треугольника, окажется, что она гораздо больше 180 градусов. Действительно, каждый из углов с вершинами в Кито и Найроби составляет почти 90 градусов, потому что меридианы, идущие от полюса, пересекают экватор под углом 90 градусов. Угол с вершиной на Северном полюсе образован меридианами, проходящими через эти города, и составляет 115 градусов. Следовательно, сумма углов получившегося треугольника равна 90 + 90 + 115 = 295 градусов.

Существуют и геометрии, в которых суммы углов треугольников меньше 180 градусов. Например, на поверхности геометрического тела, которое называют псевдосферой, похожем на конус с искривленными боками, кратчайшие пути между точками тоже образуют необычные треугольники, суммы углов которых меньше 180 градусов. Это тело обладает так называемой отрицательной кривизной, а сферы, подобные земному шару, – кривизной положительной. В плоской геометрии, действующей, в частности, на карте, с которой я начал этот разговор, кривизна равна нулю.

Рис. 4.5. Сумма углов треугольника на поверхности сферы оказывается больше 180 градусов

Рис. 4.6. Сумма углов треугольника на поверхности псевдосферы оказывается меньше 180 градусов

Открытие искривленных геометрий было одним из самых интересных достижений математики начала XIX века. Однако это открытие породило своего рода склоку между тремя математиками, каждый из которых утверждал, что первооткрывателем этих геометрий был именно он. Впервые идею таких новых геометрий одновременно обнародовали в 1830-х годах русский математик Николай Иванович Лобачевский и венгр Янош Бойяи. Открытие Бойяи произвело сильное впечатление на его отца[59], который не замедлил похвастаться этим достижением своему близкому другу, Карлу Фридриху Гауссу. Однако ответ Гаусса на письмо Бойяи-отца был довольно язвительным:

Если бы я начал с заявления, что не могу похвалить эту работу, Вас это, несомненно, на некоторое время озадачило бы. Но я не могу сказать ничего другого. Похвала ей означала бы для меня похвалу самому себе. По сути дела, все содержание работы – тот путь, по которому пошел Ваш сын, те результаты, к которым этот путь привел его, – все это почти полностью совпадает с моими размышлениями, отчасти занимавшими мой разум на протяжении последних тридцати или тридцати пяти лет.

Оказывается, Гаусс открыл эти искривленные геометрии со странными шорткатами по поверхностям много лет назад, когда проводил геодезические съемки Ганновера. Для этого ему пришлось заниматься триангуляцией территории королевства подобно тому, как это делали Мешен и Деламбр, когда определяли длину метра. Хотя сперва эта работа казалась великому математику нудной и монотонной, она послужила катализатором для глубоких теоретических размышлений. Гаусс задумался, не может ли быть искривленной не только поверхность Земли, но и сама геометрия пространства. Он решил использовать некоторые из своих измерений треугольников, чтобы проверить, не могут ли световые лучи, направленные между вершинами трех холмов вокруг его дома в Геттингене, образовать треугольник, сумма углов которого будет отличаться от 180 градусов.

Свет обожает шорткаты. Он всегда находит кратчайшую линию между двумя точками. Поэтому, если бы сумма углов оказалась не равной 180 градусам, это означало бы, что свет распространяется в пространстве по криволинейной траектории. Гаусс надеялся доказать, что трехмерное пространство на самом деле искривлено, как двумерная поверхность Земли. Когда он не обнаружил никаких расхождений, он забросил эти идеи, потому что эти новые искривленные геометрии противоречили его убеждению, что цель математики – описывать Вселенную, которую мы наблюдаем вокруг себя. С тех немногих друзей, с которыми он обсуждал свои исследования, он взял обет молчания.

Теперь мы знаем, что Гаусс работал на слишком малом масштабе, не позволявшем обнаружить кривизну пространства. Возрождение интереса к проверке идей Гаусса вызвала новая теория гравитации и геометрии пространства-времени Альберта Эйнштейна.

Эйнштейн открыл, что расстояние между двумя объектами в пространстве может изменяться в зависимости от того, кто наблюдает эти объекты. При перемещении со скоростью, близкой к скорости света, расстояния сжимаются. От состояния наблюдателя зависит и время. Последовательность событий может изменяться в зависимости от того, как движется наблюдатель. Великим открытием Эйнштейна было осознание того факта, что время и пространство следует рассматривать как части единого целого в рамках четырехмерной геометрии с тремя пространственными и одним временным измерением. Измерение расстояний в этой новой пространственно-временной геометрии приводит к искривленным формам.

Идеи Эйнштейна позволили определить гравитацию не как силу, которой считал ее Ньютон, а как искривление геометрии пространства-времени. Объекты, обладающие большой массой, изгибают ткань пространства. Можно представить себе, что гравитация – не сила, притягивающая объекты друг к другу, а нечто иное. Гравитация – это шорткаты, которыми объекты пользуются для перемещения в этой геометрии. Свободное падение объекта – это всего лишь кратчайший путь перемещения из одной точки в другую, который объект