Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

в таких местах: «Когда дух человека испытывает угнетение или облегчение, его сердце естественным образом стремится вверх». Мюррей писал эти слова на туалетной бумаге, которую он копил, находясь в заключении – в лагере для военнопленных во время Второй мировой войны[62]. Хотя его тело не имело возможности путешествовать, его разум странствовал по Шотландскому высокогорью. Другим героем Макфарлейна стала модернистская писательница и поэтесса Нэн Шеперд.

«В сороковых годах Нэн Шеперд писала в конце “Живой горы”[63], что эти, как она их называет вслед за Вулф и Вордсвортом и другими, моменты бытия возникают, только когда “мы бродим так, с обостренными чувствами, час за часом, пока наша плоть не станет прозрачной”. Это потрясающая фраза, – говорит Макфарлейн. – Эти холмы никуда не спешат – так, по-моему, она говорит. Поэтому шорткаты – это абсолютная антитеза к этому способу достичь прозрения».

Однако Макфарлейн напомнил мне, что многие из троп, по которым мы сегодня гуляем ради собственного удовольствия, впервые были проложены в неолитические времена именно в качестве шорткатов. Жизнь в скудных условиях вынуждала людей соизмерять затраты энергии, имеющиеся ресурсы и так далее. Когда они находили короткую дорогу, то вряд ли пренебрегали ею – независимо от того, открывались ли на ней такие же возможности для созерцания, как и на длинной, или нет.

Но не всегда. Как отмечает Макфарлейн, иногда неолитические культуры тратили огромное количество ресурсов на проекты, не сводящиеся к пользе для выживания. В качестве иллюстрации к этому тезису он рассказал мне прекрасную историю о рубилах, которые добывали в долине Литл-Лэнгдейл в камберлендском Озерном крае. Она показывает, что не все неолитические тропы служили рациональными шорткатами: «На нижних уровнях этой долины были прекрасные скальные выходы подходящей для рубил породы, которые вполне можно было бы использовать для изготовления инструментов – стоило только захотеть. Но они явно предпочитали забираться на гораздо более высокие и труднодоступные площадки на утесе Гиммер-Крэг».

Мне стало любопытно, почему люди шли в труднодоступные места за той же самой породой, которую можно было добыть гораздо легче.

«У мест есть особая аура, которая остается в предмете после того, как его забирают из такого места, – сказал он. – Так что и в доисторические времена люди выбирали не только короткие, но и длинные пути не без причины».

Затем Макфарлейн отплатил мне той же монетой. Есть ли в математике примеры необычайно плодотворных длинных путей?

Я думаю, одним из таких примеров можно считать гипотезы. Гипотеза подобна горной вершине. Я не хочу подсматривать ответ в конце задачника – это все равно что подниматься на Каирн-Горм на фуникулере. Удовольствие от достижения вершины определяют те дни, даже годы, которые я трачу на восхождение. Правда, ради этого мне вовсе не хочется плестись по скучному пейзажу. Некоторые прогулки по ощущениям неотличимы от тяжелой работы.

В математике существует странное, тонкое противостояние между излишней легкостью, делающей работу скучной, и такой сложностью, которая не позволяет понять, что вообще происходит. В книге «Приключение, тайна, любовная история» (Adventure, Mystery, and Romance: Formula Stories as Art and Popular Culture, 1977) Джон Кавелти описывает аналогичное противостояние в литературе, но его слова применимы и к математике: «Если мы стремимся к порядку и безопасности, то в итоге обязательно получим скуку и однообразие. Отказавшись от порядка во имя перемен и новизны, столкнемся с опасностью и неизвестностью… Историю культуры можно интерпретировать как динамичный конфликт между… стремлением к порядку и желанием избежать скуку»[64].

Иногда часть удовольствия приносит сам тот факт, что к вершине приходится идти длинной дорогой. В течение 350 лет целые поколения математиков пытались доказать Великую теорему Ферма, путешествуя в странные эзотерические миры, пока путь к цели наконец не был найден. Но эти окольные пути и долгие дороги внесли свой вклад в удовольствие от доказательства. Нам пришлось открыть интереснейшие новые математические земли, которые могли бы остаться нетронутыми, если бы мы не были вынуждены огибать непроходимые математические трясины, обнаружившиеся на нашем пути.

Интересно задуматься вот о чем: была бы ценность, которую мы приписываем теореме Ферма, меньше, если бы ее доказательство было коротким и очевидным? Ауру великих недоказанных гипотез – например, гипотезы Римана, – порождают трудность их решения и количество труда, который необходимо вложить в него. Мы уподобляем великие гипотезы восхождению на Эверест. Если бы вершина не была такой труднодоступной, мы, возможно, не так высоко оценивали бы достижения тех, кому удается получить решение.

Я попытался объяснить Макфарлейну, что, как мне кажется, я ценю в математике не столько медленное продвижение по пустошам, сколько моменты, когда передо мной встает гора, через которую я должен найти путь, и то необычайное возбуждение, которое возникает, когда удается найти расщелину, туннель, шорткат, ведущий на другую сторону.

«Я смотрю на те жесты, которыми вы описываете то, что вам приходится делать, и мне кажется, что вы похожи на скалолаза, – сказал он. – Вы выглядите не как пешеход, а как скалолаз, и я говорю о спортивном скалолазании, которое кое в чем отличается от альпинизма, а альпинизм, в свою очередь, отличается от пешей ходьбы по холмам».

Получает ли сам Макфарлейн удовольствие от трудностей скалолазания?

«В течение нескольких лет я был очень неумелым, но очень увлеченным скалолазом, – сказал он. – У скалолазов есть такое понятие – трудный участок восхождения. В каждом хорошем восхождении есть преодоление трудного участка. Судя по всему, это очень похоже на тот процесс работы над задачей, который вы описываете. Есть так называемые задачи по боулдерингу[65]. Начинаешь с чего-нибудь легкого и повторяешь снова и снова, потом доходишь до трудного участка и падаешь. Скала не дается; прыжок никак не получается именно таким, как нужно. А когда наконец удается это сделать – те немногие разы, когда у меня получалось, – это состояние абсолютного восторга. Это тоже решение задач».

Мне действительно знакомо ощущение отчаяния, сменяющегося восторгом, которое может внушить преодоление сложного математического маршрута. Перед самой нашей встречей я смотрел документальный фильм «Фри-соло»[66] (Free Solo, 2018) о поразительном восхождении Алекса Хоннольда на скалу Эль-Капитан в Йосемитском национальном парке без страховки. На его маршруте около восьми трудных участков – это настоящая гипотеза Римана от скалолазания. Самый тяжелый из них называют просто «проблемным валуном» – это сложная последовательность перемещений по расположенным далеко друг от друга зацепкам для рук, некоторые из которых не