Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

- Понятно! - воскликнула Алиса. - Как интересно!

- Есть у меня еще одна задачка для тебя, - сказал Шалтай-Болтай. - В отличие от предыдущей она допускает вполне определенное решение. Слышала ли ты что-нибудь о "Клубе Червей"?

- Ничего! Терпеть не могу червей, - ответила Алиса.

- да еще свернувшихся в клуб! Нет, о клубе червей я ничего не слышала!

- Прекрасно! - продолжал Шалтай-Болтай. - Тогда тебе досталось то, что надо!

- А что надо?

- Как что? Разумеется, та самая задача, которую я хочу тебе задать. Ведь я спросил тебя, что ты знаешь о "Клубе Червей", а ты ответила, что не знаешь ничего. Значит, и про задачу о "Клубе Червей" ты ничего не знаешь!

- Правильно! - согласилась Алиса. - Но как вы узнали, что мне надо?

- Очень просто! Я сам придумал эту задачу и никому ее еще не рассказывал.

- А что это за задача о "Клубе Червей"? - спросила Алиса.

- Видишь ли, жители одного города очень любили создавать различные клубы. Один клуб получил название "Клуб Червей". О нем нам известно следующее:

Первое. Любая жительница города, если она не состоит членом всех клубов, состоит членом "Клуба Червей".

Второе. Ни один житель города не состоит членом "Клуба Червей", если не существует по крайней мере еще один клуб, членом которого он не состоит.

Третье. Какой бы из клубов мы ни выбрали, все мужское население города, не состоящее членами этого клуба, влюблено в каждую жительницу города, состоящую членом "Клуба Червей".

Лиллиан живет в этом городе, - продолжал Шалтай-Болтай.

- Неизвестно,"однако, состоит ли она членом "Клуба Червей". Ричард также живет в этом городе. Относительно него также неизвестно, состоит ли он членом "Клуба Червей".

Спрашивается, можно ли определить, любит ли Ричард Лиллиан?

- Я не знаю даже, как подступиться к этой задаче! - призналась Алиса.

- Это все от того, что ты не думаешь! - строго сказал Шалтай-Болтай. - Между тем задача вполне разрешима. Дело в том ... Нет, ты ни за что не поверишь, если я тебе сейчас скажу ... Тебе это покажется просто невероятным! Я хочу тебе сказать, что в городе, о котором говорится в задаче, все мужчины должны быть влюблены во всех женщин! Поразмыслив, Алиса сказала:

- Я все еще не понимаю почему.

- Видишь ли, дитя мое, из первой посылки следует, что каждая женщина в городе должна состоять членом "Клуба Червей". Почему? Давай рассуждать. Выберем наугад любую жительницу города. Она либо состоит членом всех клубов, либо не состоит членом всех клубов. В первом случае она должна состоять членом "Клуба Червей", а во втором заведомо состоит членом этого клуба, так как "Клуб Червей" - один из существующих в городе клубов.

Следовательно, и в том и в другом случае любая жительница города состоит членом "Клуба Червей". Тем самым доказано, что все жительницы города состоят членами "Клуба Червей".

- Понятно, - сказала Алиса.

- Прекрасно, - одобрительно заметил Шалтай-Болтай, - пойдем дальше. Из второй посылки следует, что не каждый житель города состоит членом всех клубов. Почему? Да потому, что если бы некий житель состоял членом всех клубов, то он состоял бы, в частности, и членом "Клуба Червей", между тем как ни один житель города, состоящий членом всех клубов, не может быть членом "Клуба Червей". Следовательно, ни один житель города не состоит членом всех клубов.

- Понятно, - сказала Алиса.

- Это означает, - продолжал Шалтай-Болтай, - что каждый житель города не состоит членом по крайней мере одного клуба, но любой житель города, не состоящий членом любого клуба, влюблен во всех жительниц города, состоящих членами "Клуба Червей". Следовательно, все мужское население города влюблено во всех жительниц города, состоящих членами "Клуба Червей", а, поскольку все жительницы города состоят членами этого клуба, мы заключаем, что все жители города влюблены во всех жительниц города.

- Необыкновенно интересно! - сказала Алиса. - Не могли бы вы рассказать мне еще какую-нибудь историю?

- Хорошо, - согласился Шалтай-Болтай. - Поверишь ли ты, если я тебе скажу, что у меня есть сыночек?

- А почему бы и нет? - удивилась Алиса.

- А поверишь ли ты, если я тебе скажу, что все любят моего сыночка?

- А почему бы и нет? - спросила Алиса.

- А поверишь ли ты, если я тебе скажу, что мой сыночек любит только меня?

- А почему бы и нет? - ответила Алиса.

- Увы, - сказал Шалтай-Болтай, - если ты поверишь во все это, то ты мыслишь непоследовательно!

- Почему? - удивилась Алиса.

- Потому что в противном случае ты путем умозаключений пришла бы к выводу, что не веришь, будто я свой собственный сыночек!

- Разумеется, в такую чушь я не верю! - возмутилась Алиса.

- Жаль! А ведь ты должна была бы верить, раз уж ты поверила во все остальное!

- Почему? - спросила Алиса, недоумевая.

- К такому выводу приводит логика, только и всего.

Суди сама. Предположим, что все остальное сущая правда. Так как все любят моего сыночка, то мой сыночек также любит моего сыночка.

- Об этом я как-то не подумала! - призналась Алиса.

- Разумеется, не подумала, а должна была бы подумать!

Ты всегда должна обо всем думать.

- Но я не могу думать обо всем! - возразила Алиса.

- Я никогда не говорил, что ты могла бы думать обо всем, парировал ее возражение Шалтай-Болтай. - Я сказал лишь, что ты должна была бы думать обо всем.

- А разве имеет смысл говорить, что я должна сделать то, чего никак не могу? - озадаченно спросила Алиса.

- Это интересная проблема из философии морали, - заметил Шалтай-Болтай, - однако она увела бы нас слишком далеко в сторону. Вернемся к нашей задаче. Так как мой сыночек любит себя и любит только меня, то из этого следует, что я и есть мой собственный сыночек!

Следовательно, не все из того, о чем я рассказал тебе, может быть истинно.

- Очень интересная задача! - сказала Алиса.

- Что правда, то правда! - согласился ШалтайБолтай.

- А теперь я хотел бы рассказать тебе нечто особенное, не задачку, а конфетку! Я сам ее придумал, но не уверен, что знаю ответ. На первый взгляд кажется, что это парадокс, но я абсолютно не уверен, что это действительно так.

Алисе не терпелось поскорее узнать, что это за задача, которая поставила в тупик самого Шалтая-Болтая.

- Как бы тебе лучше сказать? - попытался объяснить Шалтай-Болтай. - Ты, должно быть, знаешь всякие задачи о рыцарях, которые всегда говорят правду, и лжецах, которые всегда лгут?

- Да, таких задач великое множество! - подтвердила Алиса.

- Так вот! Представь себе, что ты находишься в стране, где обитают только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Навстречу тебе попадается один коренной житель страны, о котором тебе ничего не известно (ты знаешь лишь, что он либо рыцарь, либо лжец, но не имеешь ни малейшего представления, кто именно из двух). Он произносит только одну фразу:

- Ты не знаешь и никогда не узнаешь, что я рыцарь.

Кто он, по-твоему?

- Давайте рассуждать, - предложила Алиса. - Предположим, что он лжец. Тогда его утверждение ложно. Это означает, что я знаю или узнаю, что он рыцарь. Но если я знаю, что он рыцарь, то он действительно должен быть рыцарем (ведь то, что достоверно известно, должно быть истинным). Следовательно, если он лжец, то он должен быть рыцарем, и мы приходим к противоречию. Значит, он не может быть лжецом и поэтому должен быть рыцарем.

- Итак, ты знаешь, что он рыцарь, - подвел итог Шалтай-Болтай.

- Да, - ответила Алиса, - но тут возникают новые трудности. Так как я знаю, что он рыцарь, его утверждение ("Ты не знаешь и никогда не узнаешь, что я рыцарь")

должно быть ложным. Но тогда он должен быть лжецом, и мы приходим к парадоксу.

- Кажется, ты права, - задумчиво проговорил Шалтай-Болтай, - но я не уверен ...

- Разрешить парадокс, - прервала его Алиса, - как мне думается, можно только одним способом: признать, что данные в условии задачи невозможны. Ни один коренной житель-рыцарь не мог бы высказать такое утверждение.

- Кажется, ты права, - повторил ШалтайБолтай, - но все же я не уверен ... Он замолчал и погрузился в размышления.

- И все же вы не уверены в чем? - спросила Алиса.

- В том, что рыцарь не мог высказать такое утверждение. Уж тебе-то он мог сказать такое!

- Почему мне? - удивилась Алиса.

- Потому что ты реагируешь по-особому! - пояснил Шалтай-Болтай. Предположим, что ты действительно отправилась в такую страну и повстречала коренного жителя, который высказал бы такое утверждение. Как бы ты поступила?

- Но я же сказала вам, - обиделась Алиса, - что усомнилась бы в непротиворечивости условий задачи. Иначе говоря, я усомнилась бы в том, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.

- Но тогда ты не смогла бы никак определить, кто тебе встретился, рыцарь или лжец.

- Разумеется, не смогла бы, - ответила Алиса.

- Значит, повстречавшийся тебе коренной житель сказал бы правду и мог быть рыцарем. Следовательно, условия задачи все же непротиворечивы!