Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

- Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, - попросила Алиса.

- Охотно, - согласился Шалтай-Болтай. - Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!

- Как интересно! - воскликнула Алиса.

- Кстати сказать, - заметил Шалтай-Болтай, - если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид - единственный критянин и что высказанное им утверждение - единственное утверждение, когдалибо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?

- Поразмысли над этим, - посоветовал Шалтай Болтай. - а я хочу предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою записную книжку?

Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:

- Взгляни на страницу II. Истинно написанное там утверждение или ложно?

Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:

- 11 Утверждение на странице 11 истинно

Алиса немного подумала и ответила:

- Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.

- На этот раз ты абсолютно права! - согласился Шалтай-Болтай.

- Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!

- Что вы имеете в виду? - удивилась Алиса.

- А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.

Такое употребление слова "хамелеонный" показалось Алисе весьма странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали только то, что он хотел, не больше и не меньше.

- Я хотел бы провести еще один опыт, - сказал Шалтай-Болтай. Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.

Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й страниц и вместо 10 написал II, а там, где стоял номер II, написал 10, после чего странички стали выглядеть так:

- 10 - - 11 Утверждение Утверждение на странице 11 на странице 10 ложно истинно

- Как, по-твоему, - спросил Шалтай-Болтай, - ложно или истинно утверждение на странице 11?

Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.

- Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным, - -- сказала она. - Это еще один парадокс!

- Правильно! - сказал Шалтай-Болтай. - Но как это доказать?

- Очень просто, - сказала Алиса. - В утверждении на странице 11 в действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.

- Ты растешь прямо на глазах! - воскликнул Шалтай-Болтай, очень довольный своей ученицей.

- Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить, сколько я ни старалась, - сказала Алиса.

- Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?

- Буду очень рад, - ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила просьба Алисы. - Я перерешал все задачи, которые когда-либо были изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в чем твоя задача?

- В ней говорится о брадобрее, - сказала Алиса. - В одном небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?

- Это очень старая и очень легкая задача! - засмеялся Шалтай-Болтай.

- Но я не вижу ни одного приемлемого решения! - сказала Алиса. Я думала над этой задачей довольно долго, но ничего путного так и не придумала. Если брадобрей бреется сам, то он нарушает свое правило, по которому он бреет только тех жителей, которые сами не бреются. Если же брадобрей сам не бреется, то он принадлежит к числу тех жителей города, которые сами не бреются, а так как таких жителей он бреет, то должен брить и самого себя. Таким образом, бреется брадобрей или не бреется, мы приходим к противоречию! Разрешить его, сказав: "Утверждение о том, что брадобрей бреется сам, не истинно и не ложно", - мы не можем, так как он либо бреется сам, либо не бреется, поэтому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным.

- Кто бреется сам? - спросил Шалтай-Болтай.

- Как это кто? Брадобрей!

- Какой брадобрей? - допытывался Шалтай-Болтай.

- Брадобрей из истории о брадобрее! - ответила Алиса чуточку нетерпеливо.

- Ах вот кто! - протянул Шалтай-Болтай. - А кто сказал, что эта история правдива? Алиса немного подумала.

- Послушайте, - сказала она. - Дано, что брадобрей ведет себя так, как об этом говорится в истории.

Когда вы решаете задачу, разве можно отрицать то, что дано в ее условиях?

- А разве нельзя? - удивился Шалтай-Болтай. - Даже если то, что дано, внутренне противоречиво? Такая идея не приходила Алисе в голову.

- В действительности, - продолжал ШалтайБолтай, - такого брадобрея нет, не было и не будет. Такого брадобрея просто не могло быть потому, что, если бы он был, возникло бы противоречие.

Алисе объяснение Шалтая-Болтая показалось не очень убедительным.

- Подумай сама, - настаивал Шалтай-Болтай не без раздражения. Предположим, я скажу тебе, что был на свете человек ростом шесть футов, а человек не был ростом шесть футов. Что ты на это скажешь?

- Скажу, что такого человека не было, - ответила Алиса.

- Хорошо! А предположим, я скажу тебе, что был на свете брадобрей, который сам ни брился, ни не брился. Что ты на это скажешь?

- Скажу, что такого брадобрея на свете не было, - ответила Алиса.

- Прекрасно! Именно о таком брадобрее и идет речь в твоей истории! Ведь твой брадобрей не мог бы ни бриться сам, ни не бриться сам! Следовательно, такого брадобрея на свете не было. Вот тебе логика!

На этот раз объяснения Шалтая-Болтая полностью убедили Алису.

- Существует близкая задача, которая позволяет яснее представить себе всю проблему. - продолжал Шалтай-Болтай. - В некотором городе живут два брадобрея. Назовем их брадобрей A и брадобрей B. Дано, что брадобрей A бреет всех жителей города, которые не бреются сами, но не дано, что он не бреет еще каких-нибудь жителей города. Относительно брадобрея B известно, что он не бреет ни одного жителя города, который бреется сам, но не обязательно бреет всех жителей города, которые не бреются сами. В этом случае вполне возможно, что брадобреи A и B существуют. Такое предположение ничему не противоречит.

- А в чем задача? - спросила Алиса.

- Задача состоит из двух частей. Бреет ли себя или не бреет брадобрей A? И бреет ли себя или не бреет брадобрей B? Алиса немного подумала.

- Брадобрей A бреется сам, а брадобрей B сам не бреется, - ответила она, необычайно гордая своей сообразительностью.

- Хорошо! Очень хорошо! - похвалил ее ШалтайБолтай.

- А не можешь ли ты объяснить мне, почему?

- Потому, - начала весьма уверенно Алиса, - что если бы брадобрей A не брился сам, то он был бы одним из тех, кто не бреется сам, а поскольку всех таких жителей города он бреет, то должен был бы брить и самого себя, и мы приходим к противоречию. Следовательно, брадобрей A не бреется сам. Относительно брадобрея B можно сказать, что если бы он брился сам, то брил бы жителя города, который бреется сам, чего он никогда не делает. Значит, брадобрей B не может брить самого себя.

- Ты растешь просто на глазах! - сказал ШалтайБолтай. - Тебе необычайно повезло, что у тебя такой прекрасный учитель!

Алиса не знала, что сказать на это. С одной стороны, уроки логики, которые преподал ей ШалтайБолтай, действительно были весьма поучительными! И все же ее не покидало ощущение, что он чуточку хвастает!

- Вы сказали, что это позволяет по-новому взглянуть на задачу о брадобрее, - напомнила Алиса. - Какая же связь существует между задачей об одном брадобрее и задачей о двух брадобреях?

- Я очень рад, что ты спросила об этом, - оживился Шалтай-Болтай. - Видишь ли, на свете вполне мог бы быть такой брадобрей, как A, и он должен был бы бриться сам. На свете вполне мог бы быть и такой брадобрей, как B, только он не мог бы бриться сам. Но ни один брадобрей не мог бы быть одновременно и брадобреем A, и брадобреем B! Между тем в исходной задаче речь шла об одном брадобрее, который совмещал в себе отличительные особенности и брадобрея A, и брадобрея B, а именно это и невозможно!

- Понятно! - воскликнула Алиса. - Как интересно!

- Есть у меня еще одна задачка для тебя, - сказал Шалтай-Болтай. - В отличие от предыдущей она допускает вполне определенное решение. Слышала ли ты что-нибудь о "Клубе Червей"?