Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

- А какой смысл задавать вопросы, на которые нет ответа? - спросила Алиса.

- Именно такие вопросы и заставляют думать, - ответил Шалтай-Болтай.

- Думать о чем? - спросила Алиса.

- О том, каким мог бы быть ответ! - ответил Шалтай-Болтай.

- Но вы же сами сказали, если мне не послышалось, что ответов на эти вопросы нет.

- Нет, - подтвердил Шалтай-Болтай, - и это самое прекрасное в них!

Алиса немного подумала, но, как она ни старалась, не смогла придать хоть какой-нибудь смысл словам Шалтая-Болтая.

- А вы не могли бы привести хоть один пример такого вопроса? попросила Алиса.

- Вот теперь ты говоришь как разумный ребенок, - похвалил ее Шалтай-Болтай. - Почему же не могу? Хочешь, я, не сходя с места, придумаю тебе два примера? С какого ты предпочла бы начать?

- Откуда я знаю? - сказала Алиса. - Я же не знаю, какие примеры вы придумаете. Как же я могу сказать, с какого примера лучше начать?

- Ты абсолютно права! - просиял ШалтайБолтай.

- Вот это то, что я называю логически мыслящим ребенком!

Я приведу сейчас замечательный пример вопроса, на который нет ответа. Вот как он звучит:

- Можно ли считать "нет" правильным ответом на этот вопрос?

- На какой вопрос? - спросила Алиса.

- На вопрос, который я только что задал! - пояснил Шалтай-Болтай. Алиса немного подумала.

- Нет, - сказала она, - конечно же, нет!

- Вот ты и попалась! - с гордостью заявил Шалтай-Болтай.

- Как? - не поверила Алиса.

- Суди сама, дитя мое! На мой вопрос ты ответила "нет", правильно?

- Правильно! - согласилась Алиса.

- А разве ты ответила правильно? - спросил Шалтай-Болтай.

- Конечно! - уверенно ответила Алиса. - Какие могут быть сомнения?

- Вот тут-то ты и попалась! - заявил ШалтайБолтай.

- Так как ты ответила "нет" и ответила правильно, то на заданный вопрос правильного ответа не существует!

- Именно это я и утверждаю! - сказала Алиса.

- Не совсем так! Если "нет" - правильный ответ, то когда я спрашиваю тебя, можно ли считать его правильным, ты должна была бы ответить "да", а не "нет"!

Алиса задумалась, и внезапно ей все стало ясно.

- Ну конечно же! - закричала она. - Вы абсолютно правы! Я должна была бы ответить "да", а не "нет"!

- Вот ты и опять попалась! - торжествующе заметил Шалтай-Болтай.

- Почему? - в изумлении воскликнула Алиса.

- Конечно, попалась, дитя мое! - "Да" не может быть правильным ответом!

- Почему? - спросила Алиса, удивленная еще больше, чем прежде.

- Ответить "да" - значит утверждать, что "нет"

- правильный ответ. Но если "нет" - правильный ответ, то ты должна была бы дать его вместо того, чтобы давать неправильный ответ "да"!

- Ах так! - сказала Алиса, окончательно запутавшись. - Выходит, я правильно ответила в первый раз. Значит, на ваш вопрос мне все же следовало ответить "нет".

- Вовсе не следовало! - резко оборвал ее Шалтай-Болтай. - Я же доказал тебе это!

- Сдаюсь! - устало сказала Алиса. - А какой ответ правильный?

- Правильного ответа не существует, - торжествующе заявил Шалтай-Болтай, - и это - самое прекрасное в таких вопросах!

- А откуда вы берете эти головоломные вопросы? - спросила Алиса.

- Я придумываю их сам! - с гордостью ответил Шалтай-Болтай.

- Разве я не прав?

- Правы в чем? - спросила Алиса.

- Разве такие вопросы не заставляют думать?

- Еще как заставляют! - призналась Алиса. - У меня от вашего вопроса чуть не разболелась голова! Уж не парадокс ли ваш вопрос?

- Вот именно, дитя мое! Великолепный пример парадокса, и это самое прекрасное в нем! Я сам его придумал!

- Знаю, - подтвердила Алиса. - Вы повторили это уже дважды.

- Не совсем! - возразил Шалтай-Болтай. - Я сказал это дважды, а повторил только один раз.

- Но дело не в этом, - продолжал он. - Обычно парадоксам придают форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна) облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении, утверждающем, что оно ложно!

- А что это за утверждение? - спросила Алиса.

- Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе его на память.

Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку.

Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.

- Очень интересно, - заметил он, - но ты забыла пронумеровать страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как ты узнаешь, какая страница за какой следует?

- Но ведь странички не вырваны из записной книжки, - возразила Алиса, - а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за какой следует!

- Все равно страницы нужно нумеровать! - настаивал Шалтай-Болтай. - -- Я их тебе сейчас перенумерую.

Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал

- 10 Утверждение на странице 10 ложно

и отдал записную книжку Алисе.

- Что ты теперь скажешь? - спросил ШалтайБолтай.

- Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?

- На этот вопрос невозможно ответить, - сказала Алиса, немного подумав. - Оно может быть и истинным, и ложным.

- Неправильно! - воскликнул Шалтай-Болтай. - Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!

- А почему? - спросила Алиса.

- Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?

- А почему бы нет? - удивилась Алиса.

- Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.

- Совершенно верно! - сказала Алиса. - А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.

- Опять неправильно! - торжествующе сказал Шалтай-Болтай. - Оно не может быть и ложным!

- А почему? - спросила Алиса.

- А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!

- Как же быть? - огорченно сказала Алиса. - Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!

- Совершенно верно! - согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.

- Припоминаю, - продолжала Алиса, - что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше - историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:

"Все критяне лжецы". Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.

- Неправильно! - решительно возразил Шалтай-Болтай.

- Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка.

Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!

- Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? - попросила Алиса.

- Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом - того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?

- Я никогда не задумывалась над этим раньше, - призналась Алиса, - но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.

- Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, - ответил Шалтай-Болтай. - Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово "лжец" по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение - о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.

- Вижу, - сказала Алиса. - Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец - это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?

- Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, - уверил ее Шалтай-Болтай. - Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет.

Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.

- Да ведь это парадокс! - сказала Алиса.

- Нет! - возразил Шалтай-Болтай. - Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!