Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

- Это самый полный перечень условий, - с гордостью заметил Шалтай-Болтай. - Из них ты сможешь вывести, какие утверждения зазеркальный логик считает истинными и какие ложными. А теперь я хочу задать тебе несколько вопросов, чтобы проверить, все ли ты поняла.

Вопрос первый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Убежден ли зазеркальный логик, что ты снишься Черному Королю или нет?

- Как я могу это узнать? - возмутилась Алиса.

- Очень даже просто, - ответил Шалтай-Болтай. - Ответ следует непосредственно из условий, но как, я скажу тебе потом. А пока мне хотелось бы задать тебе еще один вопрос.

Вопрос второй. Предположим, зазеркальный логик убежден, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит.

Следует ли из этого, что он убежден, что Черная Королева спит?

- А почему это должно следовать? - спросила Алиса.

- Это действительно следует, - сказал Шалтай-Болтай, - а вот почему, ты узнаешь потом. А пока попытайся ответить на такой вопрос.

Вопрос третий. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Обязательно ли он убежден, что Черная Королева спит?

- А почему он должен быть убежден в этом? - вне себя от удивления спросила Алиса.

- Хороший вопрос, - одобрительно заметил Шалтай-Болтай, - мы еще вернемся к нему. А пока попробуй ответить на следующий вопрос.

Вопрос четвертый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Обязательно ли он убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят?

- А разве это не тот же самый вопрос, который вы мне уже задавали? - спросила Алиса. - Если зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит, то разве не одно и то же быть убежденным, что Черная Королева спит или что Черный Король и Черная Королева оба спят?

- Совсем не одно и то же, - решительно возразил Шалтай-Болтай.

- Но почему? - удивилась Алиса.

- Об этом я расскажу тебе потом, - пообещал Шалтай-Болтай, - а пока попытайся ответить на такой вопрос.

Вопрос пятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят.

Убежден ли он, что Черный Король спит?

- Думаю, что убежден, - ответила Алиса.

- А вот и нет! - заявил Шалтай-Болтай. - Попробуй-ка лучше ответить на другой вопрос.

Вопрос шестой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют. Следует ли отсюда, что зазеркальный логик убежден, что один из августейших супругов спит, а другой бодрствует?

- Конечно, не следует! - сказала Алиса.

- А вот и следует! - заметил Шалтай-Болтай. - Почему, я объясню тебе потом, а пока вот тебе еще один вопрос.

Вопрос седьмой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Лев не находится в лесу, если с ним нет Единорога. Убежден ли он, что Лев находится в лесу или нет?

- Не знаю даже, как подступиться к такой задаче, - призналась Алиса.

- Конечно, не знаешь, - презрительно сказал Шалтай-Болтай, - а все потому, что у тебя нет ключа к разгадке. Может быть, сумеешь ответить на другой вопрос?

Вопрос восьмой. Предположим, зазеркальныи логик убежден, что Бармаглот высказал за всю свою жизнь по крайней мере одно истинное утверждение. Следует ли из этого, что он убежден в истинности каждого утверждения, которое когда-либо высказал Бармаглот?

- Почему такой вывод должен следовать? - спросила Алиса. - Это просто глупо!

- А между тем он следует, - сказал Шалтай-Болтай.

- Мне кажется, впрочем, что я слишком много тебе подсказываю! Не сможешь ли ты ответить на такой вопрос?

Вопрос девятый. Предположим, зазеркальныи логик убежден, что у всех грифонов есть крылья. Следует ли отсюда, что грифоны существуют?

- У меня голова идет кругом от всего этого! - чуть не плача, воскликнула Алиса. - Уж теперь-то я заведомо не имею ни малейшего представления о том, что такое зазеркальная логика!

- Тогда попробуй ответить еще на один вопрос, - предложил Шалтай-Болтай.

Вопрос десятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Алиса не достигнет восьмой горизонтали, не став королевой. Предположим, он также убежден, что Алиса достигнет восьмой горизонтали. Убежден ли он, что Алиса станет королевой или не убежден?

- Думаю, что убежден, - ответила Алиса. - А как на самом деле?

- Видишь ли, - засмеялся Шалтай-Болтай, - мой последний вопрос был с подвохом. Это немного "нечестный"

вопрос, поэтому я и не ждал, что ты сможешь ответить на него.

- Он более нечестен, чем остальные ваши вопросы? - поинтересовалась Алиса.

- Безусловно, - заверил ее Шалтай-Болтай. - Все остальные вопросы абсолютно честные.

- А мне кажется, что они все с подвохом, - призналась Алиса. - Я все еще не понимаю зазеркальную логику!

Если вы, дорогой читатель, дойдя до этого места, признаетесь, что зазеркальная логика остается для вас, как для Алисы, по-прежнему за семью печатями, то я вряд ли смогу поставить вам это в укор. Тем не менее ключ ко всей загадочной истории до смешного прост. Вместо того чтобы приводить решения в конце книги, я предпочел изложить их на этот раз в форме диалога.

Что объяснил Шалтай-Болтай - А теперь самое время попытаться найти ключ к разгадке всех историй, - сказал Шалтай-Болтай.

- Не имею ни малейшего представления, с чего начать!

- Начнем хотя бы с вопроса, может ли зазеркальный логик быть убежденным в истинности истинного утверждения, - предложил Шалтай-Болтай.

- Как же иначе? - удивилась Алиса.

- А ты помнишь, что я тебе доказывал? - спросил Шалтай-Болтай. Всякий раз, когда зазеркальный логик в чем-то уверен, он также уверен, что не уверен в этом.

- Еще как помню! - сказала Алиса. - Только забыла, как вы это доказывали. Не могли бы вы повторить доказательство еще раз?

- Сколько угодно! - охотно согласился ШалтайБолтай.

- Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. Так как он убежден в истинности этого утверждения, то (по условию 1) он заявляет, что оно истинно. Следовательно (по условию 2), он заявляет также, что не убежден в истинности этого утверждения. В свою очередь (по условию 1) отсюда следует, что он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения.

- Вот теперь я вспомнила! - обрадовалась Алиса.

- Для большей уверенности, что ты больше не забудешь его, попрошу тебя записать мое утверждение в записную книжку под заглавием "Утверждение 1". Так Алиса и сделала. Вот что она записала:

"Утверждение 1. Всякий раз, когда зазеркальный логик убежден в чем-нибудь, он убежден, что не убежден в этом".

- Но это еще не все, - сказал Шалтай-Болтай. - Необходимо также иметь в виду, что если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в его истинности.

- Почему? - спросила Алиса.

- Это легко доказать! - ответил Шалтай-Болтай. - Возьмем любое истинное утверждение. По условию 3 зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности.

Поскольку он заявляет, что убежден в истинности истинного утверждения, то он (по условию 1) честен. Следовательно, он убежден, что убежден в истинности истинного утверждения.

- Понятно! - сказала Алиса.

- Запиши-ка себе все это в записную книжку и озаглавь "Утверждение 2", - предложил ШалтайБолтай. И Алиса записала:

"Утверждение 2. Если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в истинности этого утверждения".

- Теперь ты понимаешь, - спросил ШалтайБолтай, - почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения?

- Не совсем, - призналась Алиса.

- Такое заключение нетрудно вывести из утверждения 1, утверждения 2 и условия 4, - сказал ШалтайБолтай. - Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. По утверждению 1 он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения. Но он не может быть одновременно убежденным, что он убежден в истинности этого утверждения (так как по условию 4 он не может быть убежденным в чем-то и одновременно быть убежденным в противоположном). А так как он не убежден, что убежден в истинности утверждения, то оно не может быть истинным, потому что если бы оно было истинным, то по утверждению 2 зазеркальный логик был бы убежден, что убежден в его истинности. Но в действительности он не убежден, что убежден в истинности рассматриваемого утверждения.

Следовательно, оно не может быть истинным. Итак, ты видишь, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден в истинности любого истинного утверждения. Все утверждения, в истинности которых убежден зазеркальный логик, ложны.

Алисе пришлось изрядно поразмыслить над сказанным.

- Весьма сложное доказательство! - наконец сказала она.

- Ничего, со временем привыкнешь! - заверил ее Шалтай-Болтай.

Алиса поразмыслила еще немного.

- Мне хотелось бы спросить, - обратилась она к Шалтаю-Болтаю, обязательно ли зазеркальный логик должен быть убежден в истинности всех ложных утверждений или просто он убежден в истинности только ложных утверждений?