Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

Последовала продолжительная пауза: мой оппонент погрузился в размышления. Первой молчание нарушила Алиса.

- Не совсем, - заметила она. - Доказательство Черного Короля логически небезупречно.

- Можешь ли ты указать хоть одну логическую ошибку?

- спросил я с самым беззаботным видом.

- Все его "доказательство" основано на порочном круге, рассердилась Алиса. - Тот, кто считает себя принадлежащим к типу A, должен бодрствовать, а тот, кто считает себя бодрствующим, должен принадлежать к типу A! Да такие рассуждения опираются в первую очередь на теорию Короля, а ее правильность "доказывается" с их помощью!

- Очень хорошо! - кивнул я. - Диагноз поставлен верно! В рассуждениях Черного Короля действительно содержится порочный круг!

- Значит, я был прав! - обрадовался Майкл. - Теория Черного Короля ошибочна!

- Вовсе нет! - резко возразил я. - Алиса не доказала, что его теория ошибочна. Ей удалось доказать лишь, что Черный Король не смог доказать правильность своей теории. Но ошибочность предложенного Черным Королем доказательства еще не означает ошибочности самой теории.

- Но это же глупейшая из теорий, которые я когда-нибудь слыхал! настаивал Майкл.

- Глупая - одно, логически невозможная - совсем другое, ответил я. - Согласен с тобой, что теория в высшей степени неправдоподобная, но это еще не означает, что она логически невозможна.

- В рассуждениях Короля также есть одна тонкость, которую мне хотелось бы подчеркнуть, - добавил я. - Если бы сам Король принадлежал к типу A или B, то от того, что он убежден в истинности трех доказываемых им тезисов, эти тезисы действительно стали бы истинными! Рассуждения Короля стали бы правильными, если бы мы добавили еще одну исходную посылку, предположив, что Король принадлежит к типу A или к типу B. Если Король принадлежит к одному из этих типов, то отсюда следует, что и любое другое существо также принадлежит либо к типу A, либо к типу B, то есть что теория Короля должна быть правильной.

- Все равно я считаю, что глупее, чем теория Короля, ничего не придумаешь, - сказал Майкл, как бы подводя итог нашему разговору.

Но на этом история не закончилась! Ночью Алисе приснился странный сон. Когда она ложилась спать, в голове у нее еще роилось множество необычных логических задач, которые она услышала за день. В частности, ей не давали покоя замена истины ложью и лжи истиной в рассуждениях зазеркальных логиков и теория Черного Короля.

"Возможно ли в действительности, чтобы теория Черного Короля была правильной? - размышляла Алиса. - Если да, то хотела бы я знать, к какому типу я принадлежу - к типу A или к типу B?".

И тут Алисе приснился сон. Ей снилось, что она не она, а другая Алиса, та, из Зазеркалья. Ей снилось, что она повстречала Черного Короля и указала тому на пробелы в его доказательстве. Он исправил ошибку и предложил Алисе новое доказательство, одной из посылок которого было предположение о принадлежности Короля к типу A или B. (К сожалению, проснувшись на следующее утро, Алиса не смогла припомнить новое доказательство Короля, поэтому я затрудняюсь сказать вам, в чем оно состояло!) Тем не менее во сне Алиса была полностью убеждена, что Король действительно принадлежал либо к типу A, либо к типу B и что, таким образом, всякое живое существо, как следовало из первого доказательства Короля, принадлежало либо к типу A, либо к типу B. Между Алисой и Черным Королем состоялся следующий разговор:

- Существует на свете еще одна Алиса, - сказал Король. - Сейчас она спит, и ей снится, что она - это ты.

- Необыкновенно интересно! - воскликнула Алиса. - А разве не может быть так, что это я сейчас сплю и мне снится, что я - это она?

- Это одно и то же, - ответил Король. - Какая разница?

Замечание Короля поразило Алису! Ей было совсем не понятно, почему это одно и то же.

- Как, по-твоему, какая ты Алиса, та или эта? - спросил Король.

- Сейчас я вряд ли смогу ответить на этот вопрос, - призналась Алиса.

- К какому типу ты принадлежишь - к A или B? - спросил Король.

- Боюсь, что и на этот вопрос я не смогу ответить, - призналась Алиса. - Сейчас я даже не уверена, сплю я или бодрствую.

- Позволь мне подвергнуть тебя небольшому тесту, - попросил Король. - -- Какого цвета у тебя глаза?

- Карие ... Ах нет! Думаю, что они синие ... Нет, подождите! Это зависит от того, какая я Алиса. Какая же я Алиса и какого цвета у меня глаза?

- Если позволишь, я бы сформулировал эту задачу так, - предложил Черный Король. - Бармаглот знает и тебя, и другую Алису. Когда Бармаглот спит, он убежден, что у одной из вас глаза карие, а у другой синие. Когда Бармаглот бодрствует, он убежден, что у тебя глаза карие, а у другой Алисы синие. Так скажи мне теперь, какого цвета у тебя глаза?

Решение этой нехитрой задачки я целиком предоставляю вам, дорогой читатель. Какого цвета глаза у Алисы, которую я знаю? А у другой Алисы? И еще: к какому из двух типов (A или B) принадлежит Бармаглот?

РЕШЕНИЯ

Глава 1

Кто Джон? Для того чтобы узнать, кого из двух братьев-близнецов зовут Джон, нужно спросить одного из них:

"Джон говорит правду?". Если в ответ на этот вопрос последует "да", то независимо от того, лжет ли спрошенный близнец или говорит всегда только правду, он должен быть Джоном. Если же он ответит "нет", то Джоном зовут его брата. Доказать это можно следующим образом.

Если спрошенный близнец отвечает "да", то он тем самым утверждает, что Джон говорит правду. Если это утверждение истинно, то Джон действительно говорит правду, а так как говорящий изрек истину, то его и должны звать Джоном, Если же высказанное утверждение ложно, то Джон в действительности не говорит правду. Значит, Джон лжет, как лжет и спрошенный близнец. Следовательно, и в этом случае спрошенного должны звать Джоном. Тем самым доказано, что независимо от того, говорит ли тот, к кому мы обращаемся с вопросом, всегда только правду или лжет, он должен быть Джоном (в предположении, что на наш вопрос он ответил "да").

Если же спрошенный нами ответит "нет", то тем самым он утверждает, что Джон говорит неправду. Если это утверждение истинно, то Джон не говорит правду, а если ложно, то Джон говорит правду. И в том и в другом случае спрошенный близнец поступает не так, как Джон.

Следовательно, он должен быть братом Джона. Таким образом, "нет" в ответ на заданный вопрос означает, что спрошенного зовут не Джон.

Разумеется, вопрос "Лжет ли Джон?" ничуть не хуже. "Да"

в ответ на этот вопрос означает, что спрошенный близнец не Джон, а "нет" - что его зовут Джон.

Мне удалось придумать только эти два вопроса в три слова, которые позволяют решить задачу. Интересно, есть ли другие?

* * * Во второй задаче (найти вопрос из трех слов, позволяющий установить, не лжет ли Джон) достаточно просто спросить:

"Вы не Джон?"

Предположим, что близнец, к которому мы обращаемся, отвечает "да". Он либо говорит правду, либо лжет.

Предположим, что выбранный нами близнец говорит правду.

Тогда его действительно зовут Джон, а так как он говорит правду, то Джон всегда говорит только правду.

Предположим теперь, что близнец, к которому мы обращаемся, лжет. Тогда в действительности его зовут не Джон (раз он утверждает, что его зовут Джон). Значит, он лжет и его зовут не Джон, поэтому Джоном должен быть тот из братьев, кто всегда говорит только правду. Тем самым доказано, ..что если близнец, к которому мы обращаемся с вопросом, отвечает "да", то независимо от того, лжет ли он или говорит правду, того, кто всегда говорит только правду, зовут Джоном.

Предположим теперь, что в ответ на наш вопрос мы услышали "нет". Близнец, к которому мы обратились, либо лжет, либо всегда говорит только правду. Предположим, что он говорит правду. Тогда он действительно не Джон и Джоном зовут другого брата, а поскольку другой брат всегда говорит только правду, Джоном зовут того из двух братьев, кто лжет.

Предположим теперь, что близнец, к которому мы обратились, лжет. Тогда (поскольку лжец утверждает, что он не Джон) его настоящее имя должно быть Джон, поэтому Джоном в данном случае зовут лжеца. Тем самым доказано, что если близнец, к которому мы обращаемся с вопросом, отвечает "нет", то независимо от того, лжет он или говорит правду, того, кто лжет, зовут Джоном.

Между решениями двух задач, которые решали Алиса и ее гости, имеется замечательная симметрия. Для того чтобы узнать, не зовут ли того из близнецов, к которому вы обращаетесь, Джоном, ему необходимо задать вопрос: "Лжет ли Джон?". Для того чтобы выяснить, лжет ли Джон, необходимо задать вопрос: "Вы не Джон?".

Глава 2

1. История первая. По существу, Болванщик заявил, что варенье украли либо Мартовский Заяц, либо Соня. Если Болванщик солгал, то ни Мартовский Заяц, ни Соня не украли варенье. Но тогда Мартовский Заяц, поскольку он не украл варенье, дал правдивые показания. Следовательно, если Болванщик лгал, то Мартовский Заяц не лгал, поэтому Болванщик и Мартовский Заяц не могли лгать одновременно.