Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

должен быть в здравом рассудке.

Итак, Гусеница не в своем уме, а Ящерка Билль в здравом рассудке.

15. Кухарка и Кот. Если бы кухарка была не в своем уме, то ее мнение о том, что по крайней мере один из двух - либо она, либо Чеширский Кот не в своем уме, было бы истинным. Но тогда мы имели бы человека, который, будучи не в своем уме, придерживается здравых суждений, что противоречит условиям задачи. Следовательно, кухарка должна быть в здравом рассудке. А поскольку она в здравом уме, то ее суждения истинны, и поэтому один из двух - либо она, либо Чеширский Кот - не в своем уме. Поскольку этот "один" не кухарка, им должен быть Чеширский Кот.

Итак, кухарка в здравом рассудке, а Чеширский Кот не в своем уме.

16. Лакей-Лещ и Лягушонок. Приведенные в условиях задачи сведения не позволяют определить, в здравом ли рассудке или не в своем уме Лакей-Лещ, но мы докажем, что Лягушонок должен быть в здравом рассудке. Будем рассуждать следующим образом.

Имеются две возможности: либо Лакей-Лещ в здравом рассудке, либо он не в своем уме. Покажем, что и в том и в другом случае Лягушонок должен быть в здравом рассудке.

Предположим, что Лакей-Лещ в здравом рассудке. Тогда он судит обо всем правильно. Значит, Лягушонок действительно во всем схож с Лакеем-Лещом. Следовательно, Лягушонок в здравом рассудке.

С другой стороны, предположим, что Лакей-Лещ не в своем уме. Тогда он обо всем судит превратно, поэтому Лягушонок совершенно несхож с Лакеем-Лещом. Так как Лакей-Лещ не в своем уме, то Лягушонок в противоположность ему должен быть в здравом рассудке.

Итак, в любом случае (в здравом ли рассудке Лакей-Лещ или не своем уме) Лягушонок должен быть в здравом уме.

А что если бы Лакей-Лещ считал Лягушонка не во всем схожим, а во всем несхожим с собой? Каким был бы тогда Лакей-Лещ - в здравом рассудке или не в своем уме?

Ответ: Лягушонок в таком случае должен был быть не в своем уме. Доказательство этого утверждения я предоставляю читателю в качестве самостоятельного упражнения.

17. Король и Королева Бубен. Никто из этой августейшей четы не может думать о себе, что он не в своем уме.

Действительно, человек в здравом рассудке знает в соответствии с истиной, что он в своем уме, а безумец ошибочно полагает, что он в своем уме. Следовательно, Королева в действительности не думает, что она не в своем уме. Значит, не в своем уме Король, который считает, что Королева так думает.

Данные задачи не позволяют утверждать что-либо относительно того, в своем ли уме Королева Бубен.

18. Мартовский Заяц, Болванщик и Соня. Предположим, что Болванщик в своем уме. Тогда он обо всем судит здраво.

Значит, Мартовский Заяц не думает, что все три участника безумного чаепития в своем уме. Следовательно, Мартовский Заяц должен быть в своем уме потому, что если бы он был не в своем уме, то разделял бы ложное мнение о том, что все три участника безумного чаепития в своем уме. Но тогда, Соня, считающая, что Мартовский Заяц в здравом рассудке, сама должна быть в своем уме. Значит, все три участника безумного чаепития должны быть в своем уме. Как же в таком случае мог Мартовский Заяц не признавать истинным утверждение о том, что все три участника безумного чаепития в своем уме? Полученное противоречие доказывает, что предположение о том, будто Болванщик в своем уме, ложно: в действительности Болванщик должен быть не в своем уме.

Так как Болванщик должен быть не в своем уме, он судит обо всем превратно, и поэтому Мартовский Заяц думает, что все три участника безумного чаепития в здравом рассудке.

Разумеется, Мартовский Заяц заблуждается (так как Болванщик не в своем уме), поэтому Мартовский Заяц также не в своем уме. Но тогда и Соня, считающая, что Мартовский Заяц в здравом рассудке, также не в своем уме.

Итак, все трое участников безумного чаепития не в своем уме (что, впрочем, не слишком удивительно!).

19. Грифон, Черепаха Квази и Омар. Прежде всего Грифон и Черепаха Квази должны быть "одинаковыми", то есть либо оба не в своем уме. либо оба в здравом рассудке, так как Черепаха Квази считает, что Грифон в своем уме. Если Черепаха Квази в здравом рассудке, то это означает, что Грифон в своем уме. Если же Черепаха Квази не в своем уме, то он судит обо всем превратно. Значит, Грифон в действительности не в здравом рассудке, а безумен. Таким образом, Грифон и Черепаха Квази оба не в своем уме.

Докажем теперь, что Омар не в своем уме. Будем рассуждать от противного: предположим, что он в своем уме. Тогда Омар обо всем судит здраво и, следовательно. Грифон действительно считает, что ровно один из троих (Грифон, Черепаха Квази и Омар) в своем уме. Но это невозможно, так как если Грифон в своем уме, то Черепаха Квази (равно как и Омар) в своем уме, поэтому утверждение о том, что ровно один из них в своем уме, ложно (так как в своем уме все трое). Следовательно, Грифон, будучи в здравом рассудке, так думать не мог. С другой стороны, если Грифон в своем уме, то утверждение о том, что ровно один из троих (а именно Омар, так как Черепаха Квази не в своем уме) в здравом рассудке, истинно. Но существо, которое не в своем уме, не может мыслить истинными суждениями. Следовательно, предположение о том, что Омар в своем уме, приводит к противоречию. Значит, Омар не может быть в здравом рассудке: он должен быть не в своем уме.

Итак, мы знаем, что Омар не в здравом рассудке. Значит, в действительности неверно, будто Грифон считает, что разумен ровно один из троих (Грифон, Черепаха Квази и Омар). Если Грифон не в своем уме, то Черепаха Квази также не в своем уме, и, таким образом, все трое не в своем уме.

Следовательно, утверждение о том, что не в своем уме ровно один из троих, ложно. Это означает, что Грифон, будучи не в своем уме, должен принимать за истинные все ложные утверждения, в частности утверждение о том, что ровно один из троих в здравом рассудке, хотя, как мы уже доказали, он так не думает. Полученное противоречие показывает, что Грифон не может быть не в своем уме. Следовательно, Грифон в здравом рассудке и Черепаха Квази (будучи таким же безумным или здравомыслящим), как Грифон, должен быть в своем уме.

Ответ: Омар не в своем уме. Грифон и Черепаха Квази оба в здравом рассудке.

20. Король и Королева Червей. Королева Пик думает, что Король Пик думает, что она не в своем уме. Если она в здравом рассудке, то Король действительно думает, что она не в своем уме, а это означает, что не в своем уме должен быть Король. Если же Королева не в своем уме, то Король в действительности не думает, что она не в своем уме, а если бы он был в здравом рассудке, то думал бы. Поэтому и в этом случае Король не в своем уме. Итак, в любом случае Король должен быть не в своем уме. Что же касается Королевы Пик, то она может быть и в здравом рассудке, и не в своем уме.

21. Король и Королева Треф. Не может быть, чтобы Король (Треф) думал, что Королева (Треф) думает, что Король думает, что Королева не в своем уме. Действительно, предположим, что Король так думает. Тогда Королева думает, что Король думает, что она не в своем уме. Но, как было показано в предыдущей задаче, это означает, что не в своем уме Король. Таким образом, если Король в своем уме, то он не в своем уме. Следовательно, Король не может быть в своем уме - Король безумен. Значит, он превратно судит обо всем и Королева в действительности не думает, что Король думает, что она не в своем уме. Но Королева либо в своем уме, либо безумна. Если она в своем уме. то здраво судит обо всем. Значит, верно, что Король не думает, что она не в своем уме, поэтому Король думает, что Королева в здравом рассудке. Но тогда Король мыслит здраво, и мы опять приходим к противоречию: безумный Король мыслит в соответствии с истиной. С другой стороны, если Королева не в своем уме, то она судит обо всем превратно, поэтому Король в действительности думает, что она не в своем уме.

Тем самым Король должен был бы быть в здравом рассудке, между тем как он не в своем уме. Итак, и в одном и в другом случае мы приходим к противоречию.

Оно доказывает просто невозможность такого положения, при котором Король думает, что Королева думает, что она не в своем уме. Таким образом, если бы Герцогиня задала Алисе логическую задачу, то это, несомненно, свидетельствовало бы о том, что Герцогиня не в своем уме. Но в действительности Герцогиня не задавала Алисе такой задачи. Она лишь спросила у Алисы:

- А что бы ты сказала, если бы я сообщила тебе, что...

22. Королева Червей. Все, что мы доказали в предыдущей задаче, применимо не только к Королю и Королеве Треф, но и к Королю и Королеве Червей. Действительно, невозможно, чтобы Король Червей думал, что Королева Червей думает, что Король Червей думает, что она не в своем уме. Так как Королева Червей действительно думает, что Король так думает, то она не в своем уме. Что же касается Короля, то данные задачи не позволяют определить, в своем ли он уме.

23. Додо, Попугайчик Лори и Орленок. Так как Лори думает, что Додо не в своем уме, то Лори и Додо совсем несхожи (если Лори в здравом рассудке, то Додо не в своем уме; если Лори не в своем уме, то Додо в действительности не безумец, а пребывает в здравом рассудке). Так как Орленок думает, что Додо в здравом рассудке, то Орленок совсем несхож с Лори (который думает, что Додо не в своем уме).