Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

После того как C покинул зал суда, судья спросил, обращаясь либо к A, либо к B (к кому именно, мы не знаем), не шпион ли его сосед по скамье подсудимых, и получил ответ "да"

или "нет" (но какой именно, мы также не знаем). В случае 1 существуют 4 возможных варианта, в случае 2 - еще 4 варианта, что составляет вместе 8 вариантов. Половину из них можно исключить на основании того, что судья, получив ответ, смог решить, кто из двух (A или B) шпион.

Рассмотрим случай 1. Предположим, что судья задал вопрос подсудимому A. Если бы тот ответил "да" (признав тем самым, что шпион B), то судья мог бы исключить случай 1а, так как если A лжец и B шпион, то A, утверждая, что B шпион, не мог бы сказать правду. Исключив из этих соображений случай 1а, судья знал бы, что единственно возможным остается случай 1б и что A шпион. Если бы A ответил "нет", то судья не сумел бы изобличить шпиона, поскольку A мог бы оказаться либо лжецом (который солгал, утверждая, что B не шпион), либо шпионом (который сказал правду, утверждая, что B не шпион). Следовательно, в данной задаче A не мог ответить судье "нет". Таким образом, если судья обратился с вопросом к A, то A ответил "да" и был изобличен как шпион. Предположим теперь, что судья обратился к B и спросил того, шпион ли A. Если бы B ответил "да", то судья не смог бы изобличить шпиона (в чем читатель без труда убедится, рассмотрев оба варианта 1а и 1б: ни в одном из них B не мог бы ответить "нет"). Но если бы B ответил "нет", то судья пришел бы к выводу, что B шпион (случай 1б пришлось бы отбросить, так как в противном случае рыцарь B отрицал бы, что шпион A шпион). Таким образом, на вопрос судьи подсудимый B ответил бы "нет" и был бы изобличен как шпион. На этом анализ случая 1 завершается.

Случай 2 может быть проанализирован аналогичным образом, и мы приводим лишь общий ход доказательства, предоставляя читателю самостоятельно восполнить недостающие подробности.

Итак, в случае 2, если бы вопрос был задан подсудимому A, то для того, чтобы судья мог изобличить шпиона, тот должен был бы ответить "нет". При этом шпионом оказался бы сам A. Если бы вопрос был задан подсудимому B, то для того, чтобы судья мог изобличить шпиона, тот должен был бы ответить "да". Проверку этих утверждений мы предоставляем читателю (как я уже говорил, они лишь несущественно отличаются от приведенных выше рассуждений для случая 1).

Попытаемся теперь систематизировать все, что нам удалось узнать до сих пор.

В случае 1 либо судья адресовал свой третий вопрос подсудимому A, и тот, ответив "да", изобличил себя как шпиона, либо обратился с вопросом к подсудимому B, и тот, ответив "нет", изобличил себя как шпиона.

В случае 2 либо судья задал свой третий вопрос подсудимому A, и тот, ответив "нет", выдал себя как шпиона, либо судья адресовал свой третий вопрос подсудимому B, и тот, ответив "да", изобличил себя как шпиона. Таким образом, всего существуют четыре варианта:

Случай Ответ Шпион 1-й 2-й 3-й 1а Да Да Да A 1б Да Да Нет B 2а Нет Да Нет A 2б Нет Да Да B

2-й шаг. До сих пор мы могли обходиться без дополнительной информации о двух приятелях мистера Энтони.

Известно, что они либо оба решили задачу, либо оба не решили ее. Докажем, что они могли оба решить задачу.

Начнем с первого приятеля. Если бы мистер Энтони ответил ему утвердительно, то приятель понял бы, что имеет дело со случаем 1а и что шпион A. Если бы мистер Энтони ответил приятелю отрицательно, то тот не смог бы различить, имеет ли он дело со случаями 1б, 2а или 2б, и выяснить, кто из двух, A или B, шпион. Следовательно, первый приятель мог решить задачу только при одном условии: если мистер Энтони ответил на его вопрос утвердительно и имеет место случай 1а.

Обратимся теперь ко второму приятелю. Если бы мистер Энтони ответил ему утвердительно, то этот приятель понял бы, что имеет дело со случаем 2а и что A шпион. Но если бы мистер Энтони ответил ему отрицательно, то второй приятель не мог бы решить задачу. Таким образом, второй приятель мог бы решить задачу только в случае 2а при условии, что мистер Энтони ответил на его вопрос утвердительно. Но случаи 1а и 2а не могут иметь место одновременно. Следовательно, мистер Энтони не мог утвердительно ответить на вопросы обоих своих приятелей, поэтому неверно, что его приятели оба решили задачу. Следовательно, они оба не решили задачу (так как известно, что они либо оба решили, либо оба не решили задачу) и мистер Энтони ни одному из них не ответил на вопрос утвердительно. Тем самым случаи 1а и 2а отпадают, поэтому B должен быть шпионом.

Глава 6

52. Первый вопрос. Алиса ошиблась, записав одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать как 11111, что неверно! Число 11111 - это одиннадцать тысяч одна сотня и одиннадцать! Для того чтобы понять, как правильно записать делимое, сложим одиннадцать тысяч, одиннадцать сотен и одиннадцать "столбиком":

11 000

1 100

11

- 12 111

Мы видим, что одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать - это 12 111, то есть число, делящееся на 3 без остатка.

53. Еще одна задача на деление. Миллион, умноженный на четверть, равен четверти миллиона, а миллион, деленный на четверть, равен числу, четверть которого равна одному миллиону, то есть четырем миллионам.

Таким образом, правильный ответ на вопрос Черной Королевы:

четыре миллиона.

54. Задача на сложение и вычитание. Обычно на вопрос задачи отвечают: "Четыре шиллинга". Но если бы бутылка стоила 4 шиллинга, то вино, которое стоит на 26 шиллингов дороже, стоило бы 30 шиллингов, а вино и бутылка вместе стоили бы 34 шиллинга.

Правильный ответ: бутылка стоит 2 шиллинга, вино стоит 28 шиллингов.

55. Во сне или наяву? Если бы Черный Король накануне в 10ч вечера бодрствовал, то не мог бы вопреки истине считать, что он и Черная Королева почивают. Следовательно, Черный Король в это время спал. Но поскольку во сне он об всем судит превратно, то Черный Король ошибочно считал, что почивает и Королева. Следовательно, вчера в 10 ч вечера Черная Королева бодрствовала.

56. Во сне или наяву? В указанное время Король либо спал, либо бодрствовал. Предположим, что он не спал. Наяву Король обо всем судит здраво. Значит, Черная Королева спала. Но во сне она обо всем судит превратно, поэтому Черная Королева считала, что Король спит. Предположим теперь, что Король спал. Во сне он обо всем судит превратно, поэтому Черная Королева бодрствовала. Наяву Черная Королева обо всем судит здраво, поэтому считала, что Король спит.

Итак, независимо от того, спал Король или бодрствовал, Королева думала, что Король спит.

57. Сколько погремушек? Если Траляля проиграет пари, то у него будет половина от общего числа погремушек (или, что то же, столько же погремушек, сколько их у Труляля), поэтому до заключения пари у Траляля на одну погремушку больше, чем у Труляля. Если же Траляля выиграет пари, то у него будет на две погремушки больше, чем половина от общего числа погремушек. Кроме того, после выигрыша у Траляля окажется 2/3 от общего числа погремушек (или, что то же, вдвое больше погремушек, чем у Труляля), что на 1/6 от общего числа погремушек больше, чем половина от общего числа погремушек (1/2-1/3=1/6). Следовательно, приращение в 1/6 над половиной от общего числа погремушек то же самое, что приращение в 2 погремушки над половиной от общего числа погремушек. Значит, общее число погремушек равно 12, поэтому у Траляля 7 погремушек, а у Труляля 5.

Проверка. Если Траляля проигрывает пари, то у каждого из братцев становится по 6 погремушек. Если же Траляля выигрывает пари, то у него становится вдвое больше погремушек, чем у Труляля, - 8 против 4.

58. Сколько братьев и сестер? В семье Алисы и Тони четверо мальчиков и три девочки. У Тони три брата и три сестры, у Алисы четыре брата и две сестры.

59. Не по адресу. Утверждение о ровно трех письмах (из четырех), отправленных по адресу, означает то же самое, что утверждение о ровно одном письме, отправленном не по адресу. Следовательно, "выбирать" приходится между двумя случаями: когда по правильным адресам отправлены ровно три письма и ровно два письма. Но отправить по адресу ровно три письма невозможно, так как если три письма из четырех отправлены по адресу, то и четвертое письмо непременно отправлено по адресу. Следовательно, Королева отправила по адресу и не по адресу ровно по два письма.

60. Много ли земли? Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 11 акров. Если бы фермер действительно владел первоначально 11 акрами земли, то сборщик налогов отрезал бы у него 1 1/10 акра (что составляет 1/10 от 11 акров), и у фермера осталось бы 9 9/10 акра вместо 10, как того требуют условия задачи. Таким образом, 11 акров не могут быть правильным ответом.

Как получить правильный ответ? Подойдем к решению задачи следующим образом. После того как сборщик налогов отрезал 1/10 участка, у фермера осталось 9/10 первоначальной площади участка. Таким образом, 9/10 первоначального участка составляют 10 акров. Это означает, что, умножив первоначальную площадь участка на 9/10, мы получим площадь урезанного участка, то есть 10 акров. Следовательно, для того чтобы от площади урезанного участка вернуться к площади исходного участка, площадь урезанного участка необходимо разделить на 9/10! Как известно, разделить на 9/10 то же самое, что умножить на 10/9, поэтому, умножив 10 акров на 10/9, мы получаем 100/9, или 11 1/9 акра.