Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Г = х + у

(Г — количество граней).

Чему равно количество вершин и чему равно количество ребер? Посчитаем наивно. Сколько вершин у шестиугольника?

Слушатели: 6.

А.С.: 6. Всего х шестиугольников. Значит, у всех шестиугольников вершин…

Слушатель: 6x.

А.С.: А у пятиугольников?

Слушатель: 5у.

А.С.: Значит, пишем 6x + 5у, но это не совсем то, что надо.

Обозначим поэтому не «В», а «М»,

М = 6x + 5у.

А.С.: Почему это не то, что надо?

Слушатели: Потому что вершины совпадают.

А.С.: Если мы разрежем мяч на лоскутки или, наоборот, не начнем сшивать, то сколько будет вершин у всех лежащих на столе лоскутков? Именно столько, 6x + 5у. А когда мы сошьем, некоторые вершины совпадут. Что надо сделать с этим числом, чтобы получить правильное число вершин?

Слушатель: Разделить на 3.

А.С.: Да. Правильно, потому что ровно — не больше не меньше, а ровно — 3 разных грани сходятся в каждой вершине:

Сколько ребер? Первый вопрос: сколько ребер до того, как мы сшивали? Столько же, сколько было до сшивания вершин:

М = 6x + 5у.

У любого многоугольника вершин и ребер одинаковое количество. А на что делить?

Слушатели: На 2:

Каждое ребро мы считали ровно два раза.

Теперь мы воспользуемся формулой Эйлера. Формула Эйлера утверждает, что В − Р + Г = 2. Подставим в нее выражения через «x» и «у»:

Цель этой формулы — доказать, что у = 12. Давайте решать.

6x : 3 = 2x,

6x : 2 = Зx,

2x − Зx + x = 0.

Иксы ушли. Осталось уравнение относительно «у»:

(5y)/3 − (5y)/2 + y = 2.

Умножим все уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателя. Умножим и правую, и левую часть. Справа будет 12. Слева будет: 10у − 15у + 6у. Отсюда

у = 12.

Чудеса, да? И никакого мошенничества!

Слушатель: Что-то тут есть от фокуса.

А.С.: Курс «Математика для гуманитариев» — это курс черной магии плюс ее разоблачение. В чем здесь фокус? Природа фокуса в том, что сократились все шестиугольники. Получается, они ни на что не влияют. Можно любое количество шестиугольников вклеить дополнительно в любой футбольный мяч, так как все х сокращаются[11]. А с «у» вы не можете сделать ничего, потому что сколько бы пятиугольников ни было у нас в запасе, их количество должно удовлетворять уравнению. А математики еще 3 тысячи лет назад научились решать линейные уравнения. У этих уравнений в нормальной ситуации всегда одно решение: у = 12 — единственное решение нашего уравнения. Поэтому сколько бы вас ни просили сшить футбольный мяч из 11 пятиугольников — не получится.

Слушатель: А если пятиугольников будет 24?

А.С.: Вы сошьете два футбольных мяча. Один не сошьется. Где-то будут торчащие, несшиваемые части.

Давайте теперь посмотрим на обычную бесконечную во все стороны плоскость. С одной стороны, это более простой объект, чем сфера, но, с другой стороны, она бесконечна во все стороны. Бесконечность — это такой краеугольный камень математики. И как с ней можно быть «на ты» — это очень важная тема. Кажется, плоскость, она и есть плоскость, посмотрел вокруг — везде плоскость. Но ведь она бесконечная… А как, кстати, можно понять, что земля не плоская?

В принципе, как я понимаю, то что древние люди считали Землю плоской — это сказки. Люди всегда знали, что она не плоская. Когда по морю идет корабль, сначала на горизонте появляются паруса. Как еще, кроме как искривлением, можно это объяснить?

Слушатель: Может быть, Земля не ровная именно в этом месте..

А.С.: От того, что ты видишь паруса, до понимания, что Земля может быть устроена как шар, уже, в общем, недалеко.

Люди, на самом деле, в прошлом совершали и более великие открытия. Знаете, когда в первый раз (по крайней мере, документально) была высказана идея о конечности скорости света? В 1676 году датский астроном Тихо Браге стал наблюдать затмения спутников Юпитера. И заметил странности в их периодичности: то затмения наступали позже прогнозируемого момента, то раньше. Тогда он предложил совершенно невероятное объяснение. Он предположил, что такое могло бы быть, если бы скорость света была конечна. Так как Земля и Юпитер то приближаются друг к другу, то отдаляются, мы видим объект, который ближе, раньше, чем тот, который находится дальше. За счет этого и возникает неполная периодичность в затмениях. Но тогда нужно было признать, что значение этой скорости настолько велико, что оно превосходит всякое наше воображение. И Браге оценил его как 225 тысяч километров в секунду. Он назвал величину, которая равна 75% от верного значения. Но тогда ученый мир был еще не готов к таким смелым идеям, и к этому предположению отнеслись с большим сомнением.

Или другая история.

У вас в сумке, наверное, живет зарядка от телефона или наушники. В каком они будут состоянии? Обычно получается страшный запутанный провод.

Вопрос: можно ли его как-то распутать, если вы еще и концы провода свяжете, чтобы он стал замкнутым, как окружность? Чтобы он стал после этого распутывания нормальной, идеальной окружностью?

Слушатель: Нельзя.

А.С.: Иногда можно, иногда нельзя. Это — задача из теории узлов. Какие-то виды узлов можно распутать, какие-то нельзя. Сейчас я расскажу историю, которая может оказаться неправдой. Я слышал ее на лекции примерно 13 лет назад. Знаменитая проблема узлов, топологических типов узлов, встала в первый раз на корабле пирата Дрейка в конце XVI века. Один из матросов этого корабля тоже занимался узлами. Он завязывал много разных морских узлов и заметил, что некоторые из них — по сути один и тот же узел. Надо просто в одном месте потянуть, в другом приспустить шнур, и из первого узла получится второй (имеется в виду, что при этом концы узла должны оставаться связанными). Такие узлы называются «эквивалентными». И пирату в голову пришла идея классифицировать все виды узлов. Какие друг в друга переводятся без разрезания, а какие нет. Ему это не удалось, в чем, якобы, он честно признался.

Прошло 400 лет. И только совсем недавно был сделан большой прорыв в решении задачи об узлах. Сделали его отечественные математики Максим Концевич, Виктор Васильев и Михаил Гусаров.

Идея решения в том, что берут два узла, пишут для них некоторые математические