Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Грубо говоря, вместо круга есть поверхность огромного шара, у которого верхняя шапочка (почти плоская) вся испещрена семиугольниками. Но для картинки на всей большой сфере верна формула Эйлера:

В − Р + Г = 2.

Давайте оценим примерно, сколько у этой картинки будет вершин, ребер и граней? Одна огромная грань снизу, а наверху порядка миллиона граней в виде паркетин. Понятно, что одна грань погоды не делает. Более того, так как мы сейчас будем иметь дело с величинами порядка миллиона, то 2 в формуле Эйлера, или 0 тоже совершенно неважно. Я могу написать «примерно равно нулю». В − Р + Г примерно равно 0. Или В + Г ≈ Р. Граней — порядка миллиона. Г ≈ 1000000.

Сколько вершин? 7000000 — это вершин у всех многоугольников; и в каждой из вершин сходится как минимум 3 многоугольника. Может быть и больше (например, если у нашего 7-угольника есть острый угол в 30 градусов, и в вершине сошлись 12 этих острых углов), но не меньше — это точно (ровно два угла не могут со всех сторон окружить вершину, ибо каждый из них меньше 180 градусов). Поэтому вершин «не больше» (меньше или равно), чем 7000000/3. На самом деле я не учел вершины, которые являются вершинами большой нижней грани. Сколько их примерно?

Слушатель: 6000.

А.С.: Да. Поэтому надо прибавить еще 6000. Нам не жалко!

7000000/3 + 6000.

Но шутка матанализа заключается в том, что 7000000 и 6000 не сопоставимы по величине, так как первая величина значительно больше; так что про тысячи можно забыть. Получается:

В ⩽ 7000000/3.

Теперь о ребрах. Ребер будет 7000000/2. Причем делим в точности на 2, без всяких меньше или равно, потому что каждое ребро мы посчитали ровно 2 раза:

Р = 7000000/2.

Слушатель: А почему мы каждое ребро посчитали ровно 2 раза?

А.С.: Потому что мы плиточку к плиточке прикладываем, без всяких зазоров (мы ведь предположили, что можно уложить без зазоров), см. рис. 49.

Рис. 49. Плиточка к плиточке! Ребро к ребру! Без зазоров!

Слушатель: Почему в теореме взято 7 сторон и более?

А.С.: Потому что шестиугольное замощение давно известно, например, его знают наши друзья пчелы. Пятиугольное может быть таким: поставил домики рядом и сверху такие же, но вверх ногами (см. рис. 50). Домики, в отличие от царской короны, которую мы в самом начале рисовали, выпуклые.

Рис. 50. Замощение плоскости 4-угольниками, а также некоторыми 5-угольниками и 6-угольниками возможно.

А уж квадратами, треугольниками замостить — это совсем легко. Любым четырехугольником можно замостить плоскость и любым треугольником — тоже. А вот какими пятиугольниками можно — это сложная задача. И про выпуклые шестиугольники тоже далеко не всё известно. Но какими-то можно. А вот выпуклыми семиугольниками уже никак нельзя.

Рис. 51. Паркеты из «домиков», квадратов и правильных треугольников. В первом из них к вершинам подходят либо 3, либо 4 ребра. Во втором — только 4 ребра. В третьем — только 6 ребер.

Давайте все-таки доведем до конца доказательство.

У нас есть равенство

В + Г ≈ Р.

Оно говорит нам, что количество ребер должно быть того же самого порядка, что и количество вершин плюс количество граней. Подставим наши значения.

7000000/2 ≈ 1000000 + 7000000/3.

Если посчитать, сократив на миллион и умножив на 6, равенства не получается. Очень заметно не получается! Потому, что 21 не равно 20. Так что никакая добавка слагаемого типа 6000 дела не спасет, ибо эту добавку тоже придется делить на 1000000, и она станет исчезающе малой. А ведь мы могли взять не R = 1000 км, a R = 20000 км. Тогда бы процентное влияние добавки типа «6000» стало бы гораздо меньше. То же самое, естественно, будет с восьми-, девяти- и прочими «много-много-угольниками». А вот для шестиугольников как раз получается

6000000/2 = 6000000/3 + 1000000

3000000 = 2000000 + 1000000 (при любом значении R).

Точное равенство получается потому, что шестиугольное замощение устроено так, что в каждой вершине сходится ровно 3 ребра. А вот уже 5-угольное замощение устроено иначе. Иногда 3 ребра сходится, а иногда — 4. У квадрата везде сходятся 4, а у правильных треугольников — 6 ребер (рис. 51).

То есть выпуклое замощение бывает треугольное, четырехугольное, пятиугольное, шестиугольное. А никаких других не бывает.

Слушатель: А какая практическая польза?

А.С.: Ну, наверное, есть какая-то. Математик никогда не думает о практической пользе. Другие за него думают. Посмотрит какой-нибудь строитель: «О, значит не надо даже думать о том, чтобы использовать семиугольные плитки». А для математика нет такого вопроса. Это же совершенство. Это всё равно, что спрашивать, какая практическая польза у молитвы. Так же и математик, он просто показывает: нельзя, — ура, вот какая интересная теорема. А польза? Наверняка какая-то польза есть. У любого красивого факта есть польза.

Врезка 4. Ни один из слушателей не спросил у меня: «А где же в доказательстве теоремы используется тот факт, что исходный семиугольник был выпуклым?» И даже сложилось превратное впечатление, что для проведения доказательства выпуклость 7-угольника вообще не нужна. Но она нужна! Ведь иначе получилось бы, что мы заодно доказали, что для невыпуклого семиугольника тоже нельзя придумать замощение плоскости таким кусочком. Выше, однако, приведен пример, что 7-угольным кусочком типа «царская корона» вполне можно замостить плоскость.

На самом деле выпуклость была незаметным образом использована, когда мы поделили число 7000000 именно на 3. Только для выпуклого 7-угольника можно опираться на число 3. На рис. 45 паркет содержит такие вершины, где сходятся только две плитки паркета (и на одной из них имеется угол БОЛЕЕ 180 градусов). Подобное явление, однако, возможно только для невыпуклых плиток: любой выпуклый многоугольник содержит в себе только углы менее 180 градусов.

А.С.: Скажу напоследок вот что. Если кого-то не убедят тысячи и миллионы, надо будет сказать следующее. Если круг в n раз больше по размеру, чем плиточка, то количество граней, вершин и ребер имеет порядок n2, потому что их количество связано с площадью круга. А то, что в районе большой окружности «живет», имеет порядок n, потому что вопрос связан с длиной окружности. И если вы исследуете некоторое выражение порядка n2, например, (7n2)/2 > (7n2)/3 + n2, и при этом во все слагаемые примешивается мелочь порядка n: