Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
До встречи на лекции 3!
Лекция 3
На просторах бесконечности
А.С.: В прошлый раз я успел поговорить про бесконечность. Умение работать с бесконечностью, умение через бесконечность перешагивать, умение различать разные бесконечности — это основная работа в математике. Как могут быть разные бесконечности? Кажется, что либо что-то конечное, либо бесконечное. Но нет. На самом деле бесконечности бывают разные. На прошлой лекции мы говорили про сходящиеся и расходящиеся ряды. То есть рассматривали суммы с бесконечным количеством слагаемых.
Например, сумма 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., как выяснилось, стремится к бесконечности. То есть становится больше любого наперёд заданного числа. Скажите ей: «Будь больше 1000». Тогда нужно взять много слагаемых.
Возьмем 22000 членов. Оказывается, тогда их сумма будет больше 1000. Скажете: «Будь больше 1000000». Тогда нужно взять 22000000 членов. Их сумма будет больше миллиона. И так далее.
А вот этот ряд: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … тоже состоит из бесконечного числа членов, но его сумма никогда не станет больше, чем двойка.
Теперь еще одна интересная задача. Начнем издалека. В 2000 году, где-то зимой, мы были в лесу в районе станции Радищево, праздновали чей-то день рождения. Вокруг было очень мало сухих деревьев, все спилили до нас. Было только огромное, совершенно сухое дерево. И это дерево огромного размера стояло и очень нас заманивало. У нас была двуручная пила, и мы начали пилить. Пилили-пилили, пилили-пилили и допилили. Дерево сделало «тцук…» и село на нашу пилу. Пила осталась внутри, а полностью спиленное дерево стоит и падать не собирается (рис. 52).
Рис. 52. Пальцем слегка толкнем это дерево.
Но стоит подуть ветру, и оно упадет. В какую сторону оно упадет — совершенно не предсказуемо. Что делать? Надо или вставать и уходить, написав со всех сторон «внимание, внимание, до ближайшего ветра сюда не подходить», или пытаться уронить дерево. Мы решили с ним побороться. Взяли вспомогательное дерево и прислонили его к спиленному где-то на высоте десяти метров. Навалились, и оно поддалось (рис. 53).
Рис. 53. Дерево с контрфорсом.
Было видно, как дерево начало падать. Но скорость была чудовищно медленная: несколько сантиметров в секунду, едва-едва. Где-то минуту мы ждали, пока оно медленно наклонялось, и только потом оно начало ускоряться и через несколько мгновений рухнуло со страшным грохотом. Пришел я домой и написал уравнение падения дерева. В физике траекторию движения системы под действием сил можно выписать в виде уравнений. Такие уравнения называются дифференциальными. Это означает, что скорость изменения скорости, то есть то, что называется ускорением, зависит от сил, которые действуют на тело. Это — один из основных законов физики, он позволяет свести всё, что есть в обычной, не квантовой, механике, к системам уравнений. Можно выписать такое уравнение и для нашего дерева. И к своему удовольствию, исследовав это уравнение, я пришел к выводу, что, если дать дереву толчок очень маленькой силы, оно начинает падать очень, очень, очень медленно.
Я начинаю рассуждать, что дерево — это просто вертикальная палка, без толщины. Она стоит совершенно вертикально, но обладает массой. Массивная вертикальная палка. Кто-то толкает ее сверху. Ударит человек — палка падает (скажем) 1 минуту. Пролетит голубь, заденет — будет падать 10 минут. Начальная скорость верхней точки будет, скажем, 1 мм/с. И очень долго скорость почти не будет меняться. А если врежется муха, то палка будет падать час. Уравнение выдает удивительный результат: на самом деле нет никакой границы на время падения дерева, вообще никакой.
Рассмотрим похожую задачу. Есть вагончик, в котором на шарнире установлена тонкая железная вертикальная палка. Чуть-чуть вправо или влево она падает, так же, как и рассмотренное выше дерево.
Рис. 54. Падающее дерево едет в вагоне…
Теперь представьте обратную задачу. Вы берете уже упавшую или под некоторым углом висящую палку. После чего придаете ей некоторый импульс — толкаете ее снизу вверх (рис. 55).
Рис. 55. Слева — слабый удар по стержню (он упадет обратно). Справа — сильный удар (стержень упадет с другой стороны от точки прикрепления).
Какие возможны варианты? Во-первых, толчок может быть слишком слабый. Что произойдет с палкой? Поднялась и упала обратно. Теперь, допустим, подошел какой-нибудь бугай. Бабах по этой палке. Она р-раз — и перелетела на другую сторону. Подходит кто-то немножко более сильный, чем я, но слабее, чем бугай. Толкает палку, а она всё равно падает.
Вы качались на качелях-перевертышах? Мое детство отчасти проходило в городе Мценске. И в парке там была такая закрывающаяся изнутри кабинка с противовесом наверху, которую раскачиваешь, раскачиваешь, раскачиваешь, и она «переворачивается»; противовес оказывается внизу, а кабинка сверху (но благодаря свободному подвесу кабинка при этом вверх ногами не переворачивается). Я замечал, что наверху она долго движется с более-менее постоянной скоростью. Мы знаем, что с постоянной скоростью движутся тела, на которые не действуют силы. На кабинку силы, конечно, действуют, но вертикально вниз. В момент, когда кабинка проезжает верхушку, сила перпендикулярна линии движения, поэтому скорость почти не меняется. И если аккуратно выверить движение, то кабинка практически остановится наверху.
Вернемся к нашей палке и нарисуем график. По горизонтальной оси — сила удара, по вертикальной — результат (рис. 56).
Рис. 56. Построение графика ступенчатого вида («отклик на удар»).
Если вы ударили слишком слабо, то результат будет палка — упадет обратно. Если очень сильно ударить, то результат — палка перевернется на другую сторону. И есть ровно одно
