Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

для подсчета предметов. Ноль — это для древних уже было что-то странное. Число или не число? Натуральное ли оно? Ноль — это отсутствие предметов. Отсутствие — это количество или нет? Сколько крокодилов в нашей комнате?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Значит, вы считаете, что ноль все-таки натуральное число[15]. А отрицательных чисел у древних греков не было. Вот если бы математика началась в России, то проблем с этим не было бы. Потому что −1, −10 — это мороз, снег идет. Всё понятно — на улице отрицательная температура.

Когда я учился в школе, к нам как-то приехали американцы. И они сказали, что уровни умственного развития школьников в России и в Америке различаются как небо и земля[16]. На что я заметил, что всё очень просто. В Америке редко бывают отрицательные температуры, и поэтому у школьников есть проблема с постижением отрицательных чисел. Американец сильно задумался (тем более, что у нас градусы Цельсия, а у них Фаренгейта!).

Действительно, у нас и трехлетние дети знают, что такое −5 и −3. Это когда снег, и мама на голову шапку надевает.

Рис. 58. Наружный термометр — инструмент для освоения отрицательных чисел.

Это вот ваш градусник (рис. 58).

Нулевая температура. А может, 1, 2, 3, −1, −2, −3… градусов. Но между ними тоже что-то есть.

Слушатель: Да.

А.С.: Я же могу сказать, что сейчас два с половиной градуса выше нуля?

Слушатель: Да.

А.С.: Или три и три четверти градуса.

Слушатель: Да.

А.С.: То есть я могу назвать доли. Их сейчас даже в детсаду рассматривают.

Пришло ко мне на день рождения 15 детей. И, допустим, у меня есть 23 яблока. Я взял нож и аккуратно разрезал яблоки на 15 равных частей каждое. Каждому ребенку достанется 23/15 яблока, то есть по 23 дольки.

Это — число между единицей и двойкой:

1 < 23/15 < 2.

Такие числа древние отлично знали. Мы их называем рациональными, а они их называли дробями или просто числами. Рациональное число — это число, которое может выражать количество яблок, разделенное на количество детей. Пришло вот к вам «n», целое ненулевое число детей, а у вас имеется «m» — целое число яблок. Получаем рациональное число m/n. Числитель дроби может быть меньше нуля.

Ну, скажем, у вас было −5 яблок, и пришло 7 детей. Каждый получил −5/7 яблок.

Слушатель: Бедные дети…

А.С.: Или вы позвали 30 гостей на день рождения и сказали: «У меня −700 тысяч рублей, в смысле, я должен за квартиру 700 тысяч рублей. Скиньтесь, пожалуйста, поровну». Вот вам и минус: −700/30. Когда вы говорите о таких вещах, как долги, то сразу вылезают отрицательные числа. Я предлагаю вам понять, что все эти числа живут где-то на числовой прямой. Число 5/7 живет где-то между нулем и единицей (рис. 59). Давайте начнем шагать по оси шагами в одну сотую. Мы, на наш взгляд, целиком замостим нашу прямую: 211/100, −135/100 и т. д.

Puc. 59. Шаги-то получились меньше, чем точка от мелка!

И замостить вы можете сколь угодно плотно, можно ведь шагать шагами, равными 1/1000 или 1/000000. Где бы вы ни сидели на числовой оси, где-то рядом с вами, очень близко живет число вида m/n.

Математики употребляют в такой ситуации страшный термин «всюду плотное множество». Это такое множество, в котором, куда бы вы ни сунулись, в любой близости от вас будут точки этого множества. Рациональные числа образуют всюду плотное множество на числовой оси. Вроде как вся прямая ими заполнена. Вполне можно было бы ожидать, что никаких чисел больше нет. Это логично, но это неправда. Древние обнаружили, что есть числа, заведомо не представимые в виде m/n, ни при каких целых m и n (врезка 5).

Врезка 5. «Причина смерти — корень из двух!»[17]

Говорят, что пифагорейцы (ученики знаменитого философа и математика Пифагора) сначала верили, что для вычислений вполне хватает положительных рациональных чисел, и что в этом проявляется божественная гармония окружающего мира. Однако «не в меру способный» ученик Пифагора додумался до того, что строго доказал НЕИЗМЕРИМОСТЬ диагонали квадрата (с единичной стороной) с помощью рациональных чисел. Пифагорейцы в гробовом молчании выслушали его доказательство и не смогли его опровергнуть. Гармония мира оказалась под угрозой! Поэтому было принято решение: никому про это не рассказывать, а нарушителя мировой гармонии наказали… утоплением в реке, на берегу которой всё это и происходило. К счастью для математики, истина потом всё равно «воссияла».

Вот я и утверждаю, что корень из двух именно такое число. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат (рис. 60).

Рис. 60. Нарушители мировой гармонии — за работой.

Какой площади один маленький квадратик?

Слушатель: 1.

Какой площади будет получившаяся фигура?

Слушатель: 4.

А.С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали (см. рис. 61) и спрашиваю вас, чему равна площадь получившегося внутри квадрата?

Рис. 61. Внутренний квадрат — вдвое меньше по площади.

Слушатель: 2.

А.С.: Почему? Потому что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем у большого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона a, то площадь его равна a · a = a2.

Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух» (рис. 62).

Рис. 62. Сторона внутреннего квадрата равна корню из двух по двум причинам: алгебраическая причина — теорема Пифагора и определение корня; геометрическая причина — соотношение площадей наружного и внутреннего квадратов равно двум.

А.С.: Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.

Слушатели: Да.

А.С.: Теорема Пифагора говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов[18]. Давайте я покажу доказательство этого без единой формулы. Теорему Пифагора не нужно доказывать формулами, ее нужно просто узреть, увидеть, она видна. Вот смотрите, я беру вот такое равенство: a2 + b2 = c2.

Мне нужно его доказать для любого прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c (рис. 63).

Рис. 63. Для каждого треугольника мы