Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

чисел (m, n), которые удовлетворяют уравнению m2 = 2n2 ±1? Вопрос, который ставился еще древними — он называется «решение Диофантовых уравнений в целых числах».

Диофант жил в Александрии в III веке нашей эры. Он оставил после себя 13 томов математических изысканий, 6 из них худо-бедно, но дошли до нас, 7 — полностью и безвозвратно потеряны. 6 томов его изысканий до сих пор питают умы математиков. Диофант писал всё словесно. Примерно так: «Может ли быть такое, что одно число, будучи взятое то же самое число раз (то есть n · n) и еще столько же раз (то есть 2n · n), отличалось бы от другого числа, взятого другое же число раз (то есть m · m) всего лишь на единицу?» Так он записывал уравнение

2n2 = m2 ± 1.

Можно ли такое уравнение решить в целых числах или нет? Мы пишем символами, поэтому далеко продвинулись в математике. Но все идеи буквально, буквально все подряд были в этих шести томах. Если чего-то в них не было, то, видимо, оно было в пропавших. Но мы уже не узнаем этого.

Диофант — человек, оставивший фантастическое наследие. В 1651 году Пьер Ферма читал книгу Диофанта по целочисленной арифметике. Читал и комментировал ее на полях. А сын Ферма издал книгу с комментариями своего отца. На полях был кладезь математических сокровищ. В частности, в одном месте было обнаружено следующее. У Диофанта решалось в целых числах уравнение а2 + b2 = с2. То есть он пытался выяснить, может ли быть так, что все числа целые? Древним было хорошо известно, что такое может быть. Например, числа (3, 4, 5), и много-много других примеров.

Первое решение, возможно, даже имело практическое применение 2,5 тысячи лет назад. Берем веревку, делим ее на 12 равных частей, завязываем узелки в местах деления. После чего связываем веревку в кольцо и делаем из нее треугольник так, чтобы на одной стороне было 5 узелков, на другой 4, а на третьей — 3.

И вот вы получили прямой угол кустарными средствами. Это очень важно.

Землемеру этого хватит. Всё. У него веревка с 12 узлами есть, и отлично. Но математик всегда хочет пойти до конца. Все варианты найти, все целые а, b, с — такие, что получается прямоугольный треугольник. Задача древнейшая. Ответ был известен еще древним индусам. «Пифагоровы тройки» — вот как называются эти решения. Интересно то, что в этом месте слева на полях было написано рукой Ферма приблизительно следующее: «Вместе с тем, невозможно разложить никакой куб в сумму двух кубов, никакую четвертую степень в сумму двух четвертых степеней и вообще никакую произвольную степень числа в сумму двух таких же степеней. Я нашел этому факту поистине удивительное доказательство, но на полях оно не поместится». Это — начало истории величайшей загадки математики — великой теоремы Ферма.

Ферма утверждает, что при n большем, чем 2, уравнение

хn + уn = zn

не имеет решения в целых числах. То есть, конечно, можно взять х = у = z = 0. Или, если мы поставим х = 0, тогда у и z могут быть любыми одинаковыми. Но это всё неинтересно. А вот если ноль запретить, то если мы ищем среди положительных целых чисел х, у, z решения этого уравнения, то их нет, вообще нет. Ни одного, ни одной тройки (x, у, z), ни для какого n, большего чем 2, то есть ни при n = 3, ни при n = 4, ни при каком n.

Эта загадка была страшно популярной среди широких масс населения — уж больно просто формулируется эта теорема (да еще какой-то чудак завещал крупную сумму тому, кто справится с доказательством теоремы Ферма). Но и опытные математики были озадачены. Дело в том, что все утверждения, которые Ферма оставил без доказательства, оказались правильными (их все доказали после его смерти), а с этим творилось черт знает что: начали все сходить с ума, потому что всё кажется просто, и хочется взять ручку и начать писать. Вот вы мне не поверите, но когда мне было 10 лет, я этим занимался, честно. Но всё это безумие продолжалось только до 1994 года.

В 1994 году она была полностью доказана нашим с вами современником математиком Эндрю Уайлзом. На самом деле ему предшествовали 30 разных имен, которые долго в разных местах подстраивали большое здание. А он просто понял, в каком месте нужно сшить то, что уже известно. В частности, безусловную важность здесь сыграла московская школа алгебраической геометрии. Последним был Уайлз, но в принципе это — всемирное творение.

Сейчас доказательство великой (или, как еще говорят, последней) теоремы Ферма входит в книгу А. А. Панчишкина, Ю. И. Манина «Введение в современную теорию чисел». Толстенная сложнейшая книга по теории чисел, 7-я глава целиком посвящена теореме Ферма.

Ну а теперь фокус-покус, ладно? А то лекция уже кончается.

Берем нашу цепную дробь для «корня из двух»:

Обрубаем, получаем приближенное значение для корня из двух:

Такую дробь можно превратить в некоторое рациональное число, то есть в некоторое отношение двух целых чисел. Получается 41/29.

Всё отлично.

А вот теперь берите калькулятор, пожалуйста. И возводите в квадрат 41 и 29. He забудьте, что 29 в квадрате при этом надо умножить на 2, «по просьбе Диофанта»:

412 = 1681,

292 = 841,

841 · 2 = 1682.

Ура! Они отличаются на единицу. Это те самые решения нашего уравнения

m2 = 2n2 ± 1. (4)

Мы нашли решение этого уравнения. Причем нетривиальное.

Теорема, которую я доказывать не буду (хотя она и не очень сложная), гласит: Где бы вы ни обрубили данную цепную дробь, всегда получается решение нашего днофантова уравнения.

Слушатель: Любое число разложу в цепную дробь, обрублю и получу решение какого-то похожего уравнения?

А.С.: Не для любого. Для любого числа, не являющегося квадратом. И обрубать надо будет аккуратнее, не в любом месте, как в случае с корнем из двух.

Например, уравнение m2 = 9n2 ± 1 не получится решить таким способом (впрочем, несложно показать, что у него всего два тривиальных решения (1, 0) и (−1, 0)). Но таких чисел довольно мало. Что же я могу подставить вместо 2 в уравнение (4): 3