Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

лет назад математик Г. Перельман установил похожий факт, но только в пространстве больших измерений. Факт про фигуры в многомерном пространстве, которые локально похожи на искривленное трехмерное пространство. Мы живом в трехмерном пространстве, мы четвертого измерения не видим и не чувствуем. Мы можем только рассуждать, что четвертое измерение — это время, но объять его взором не можем. Поэтому мы не можем говорить так спокойно и убежденно, что сделать из шара тор в пространстве больших измерений нельзя. (Ведь в 4-мерном пространстве, как указывалось выше, МОЖНО, не нарушая правил топологии, превратить незаметным образом человека с сердцем, расположенным слева, в человека с сердцем, расположенным справа.)

Нам нужен язык, на котором это можно доказать. И вот для того, чтобы это можно было доказывать, для того чтобы через много лет Перельман смог доказать «гипотезу Пуанкаре» (после того как ее доказали, она вместо гипотезы Пуанкаре стала называться теоремой Перельмана или Пуанкаре — Перельмана), Эйлер начал большой путь. Он перевел то, что мы с вами считаем очевидным, в точное, железобетонное математическое рассуждение. Как же он это сделал? Он нарисовал на поверхности шара, мяча, арбуза, глобуса, любого круглого объекта некоторую карту. Иными словами, некий искривленный многогранник (рис. 29).

Рис. 29. Начало большого пути в топологию.

С точки зрения топологии, любой многогранник — это тоже шар. Тетраэдр — это шар, куб — это шар, октаэдр, любой параллелепипед — это всё шары. Например, потому что если их выполнить из резины и надуть, то получится футбольный мяч, то есть шар. Но до работ Эйлера еще не было «точки зрения топологии», так как не было и самой топологии.

Эйлер «чувствовал», что все эти объекты одинаковые. В чём именно? И как это объяснить остальным людям? В особенности его интересовал вопрос: как доказать, что поверхность шара, поверхность бублика, поверхность кренделя неодинаковые?[10] В ответ на первый вопрос ясность позже внес Анри Пуанкаре (после того, как Огюст Коши внес должную ясность в вопрос, что такое «непрерывная функция»). Однако Эйлер сразу обратился ко второй задаче (о доказательстве неодинаковости двух поверхностей) и блестяще решил ее.

Эйлер сделал следующее. Он нанес на поверхность шара многогранник — картиночку «стран», причем страны необязательно треугольные (рис. 30). (Если говорить о «странах», то надо помнить, что рассматривается «Земной шар», не содержащий морей и океанов.) При этом вся поверхность шара должна быть покрыта многоугольниками.

Рис. 30. А вы не пробовали жить на «Земном шаре» в форме огромного бублика? А заметили бы жители, что это не шар, если бы небо всегда было закрыто беспросветными тучами?

Главное, чтобы каждая страна была простым плоским объектом, без дырочек, — как круг или квадрат. И далее он сделал то же самое с велосипедной камерой. Нанес такой многогранник, который является как бы «остовом» каретного колеса (машинных колес в то время еще не было!). При этом вовсе не обязательно, чтобы количество и вид граней, а также количество вершин и ребер этого многогранника для шара и для колеса были одинаковы. Более того, они и не могут быть одинаковыми (как мы увидим ниже).

А потом стал считать у этих многогранников эйлерову характеристику: величину В − Р + Г.

Число вершин минус число ребер плюс число граней. Как бы мы ни мяли и ни изгибали шар, наши грани — «страны» от этого не меняются. (Но, конечно, нельзя так смять страну, чтобы она вся превратилась в отрезок. Такого даже во время наполеоновских войн не происходило! А если говорить серьезно, то отрезок — одномерный объект, а страна — двумерный.) То есть вершины остаются вершинами, ребра — ребрами, а грани — какими были (например, изогнутым пятиугольником или треугольником), такими и остались. А значит, величина В − Р + Г не меняется. Теперь считаем эту величину на колесе (по науке поверхность колеса (или бублика) называется словом «ТОР». А тор, заполненный внутри, называется полноторием. Поверхность же шара называется, как известно, сферой). И если сфера может перейти в тор, то картинка на шаре перейдет в картинку на колесе. И, значит, их эйлерова характеристика должна быть одинакова.

Докажем, однако, что у любой фигуры, нарисованной на колесе, эйлерова характеристика равна 0, а у любой фигуры на шаре — равна 2.

Слушатель: А если бы получилась одна и та же цифра, то что?

А.С.: Мы не смогли бы сделать из этого никакого вывода. Мы бы не смогли сделать вывод, что они одинаковые, но не смогли бы сделать и вывод, что они разные. Но ведь есть и другие подходы, кроме формулы Эйлера. Для более сложных случаев.

Слушатель: Понятно.

Слушатель: А как взаимосвязаны картинки на торе и шаре?

А.С.: То есть как именно они друг с другом соотносятся? Никак. Каждая из картинок, независимо друг от друга, является как бы «сетью», наброшенной на данную поверхность. Эту сеть при желании можно сделать состоящей из треугольных ячеек. Тогда она называется «триангуляцией поверхности».

Слушатель: А не может быть такого, что будет то же самое количество вершин, ребер и граней, но при этом картинка будет другая?

А.С.: Смотря, что понимать под словом «другая». Она может, безусловно, немного иначе выглядеть: ребра могут быть длиннее или короче. Но мне достаточно того, чтобы имелось то же самое количество вершин, ребер и граней. А при изгибах, растяжениях и сжатиях поверхности это будет именно так.

Слушатель: А…

А.С.: Итак, если вы поверили, что не изменится ни количество вершин, ни количество ребер, ни количество граней, то всё остальное я докажу совершенно строго. Я продемонстрирую, что величина В − Р + Г на шаре и на торе разная: на автомобильной камере она равна 0, на сфере — равна 2.

Слушатель: А если предположить, что дырка у тора имеет площадь ноль. По-прежнему число Эйлера — 0?

А.С.: А что значит «площадь дырки»? Это значит, что бублик сходится в одной точке — в серединке?

Слушатель: Да.

А.С.: Нет, эйлеров индекс В − Р + Г будет другой. Фигура, которая получится, не устроена как обычная плоскость в окрестности любой своей точки, потому что в окрестности серединки, где дырка сходится с разных сторон, она устроена очень сложно.

Чтобы понять это, рассмотрим сечение тора (с заклеенной дырой) вертикальной плоскостью, проходящей в стороне от точки заклейки, а также плоскостью, проходящей через точку заклейки. Рассмотрим две замкнутые кривые, получившиеся в сечениях (см. рис. 31).