Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

бы ты ни делал. И настоящая математика — это поиск таких вещей. Эйлер доказал потрясающую по красоте формулу, сейчас я ее нарисую, а может быть, даже докажу. Кстати, есть такой архитектурный объект «Монреальская Биосфера» или геодезический купол, созданный Ричардом Фуллером Бакминстером. Гигантский сегмент шара, чуть больше, чем полушар, составленный из маленьких шестиугольников. Я, когда его увидел, сказал: «Нет. Нет. Нет… Вы не правы, там не могут быть все шестиугольники, либо он сильно искривлен, либо там где-то живут пятиугольники. Ищите».

Мне говорят: «Алексей, как вы это угадали? Мы нашли 5-угольники». Эта конструкция не полный шар, поэтому в ней не 12, а примерно 7 пятиугольников. Как же я узнал? Теорема, математика. Она же универсальная для всего. Что абсолютно одинаково в России, в Канаде и в Америке? Только математика.

Слушатель: Положение этих пятиугольников, оно тоже определено?

А.С.: Нет. Можно их все сцепить в одном месте. Только получится сильно искривленная форма. Лучше пятиугольники разнести. Пятиугольники отвечают за искривление. А что такое искривление? Беру Земной шар и рисую на нём треугольник (рис. 24).

На Земном шаре есть где развернуться. Одну из вершин возьмем на Северном полюсе, две другие — на экваторе. А сторонами треугольника, как и положено в геометрии, будем считать отрезки двух меридианов и отрезок экватора (ведь по ним измеряется кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности!).

Рис. 24. Сейчас мы заколдуем этот треугольник на сфере, и у него все три угла будут прямыми.

Вот и получился у нас равнобедренный треугольник, у которого оба угла при основании прямые. А угол при Северном полюсе — любой. Так давайте возьмем его тоже прямым!!!

У нарисованного нами треугольника все углы прямые. Такого не бывает на плоскости. Это геометрия шара, поверхности шара, и вот с этой геометрией связан рассматриваемый нами факт. Он открывает очень глубокую теорию — дифференциальную геометрию, а также теорию римановых многообразий. Вернемся к футбольному мячу, состоящему из х шестиугольников и у пятиугольников, и к нашей «неожиданной теореме».

Слушатель: Кратен ли х чему-нибудь?

А.С «x» может быть равен чему угодно. А вот «у» обязательно равен 12.

Слушатель: То есть четное, нечетное — не важно.

А.С.: Абсолютно.

Слушатель: То есть мы можем сделать шар из 130 шестиугольников и 12 пятиугольников, или из 131 и 12?

А.С.: Да, надо подумать и аккуратненько вклеить эти наши 12 пятиугольников.

Слушатель: А связано ли это с количеством сторон в пятиугольнике и в шестиугольнике?

А.С.: Безусловно. Терпение, доказывать этот факт мы будем позже. Пока что нам нужна подготовительная работа, проделанная математиком Эйлером. Леонард Эйлер обнаружил следующий факт. Что такое многогранник каждый понимает. Любой многогранник это как бы изломанная поверхность шара. Эйлер нарисовал многогранник на шаре: спроецировал ребра и вершины многогранника, лежащего внутри шара, на поверхность шара. (Слово «спроецировал» означает следующую процедуру: расположил внутри стеклянного шара макет многогранника, сделанный из проволочек, и зажег в центре шара маленькую лампочку. На поверхности шара будут видны тени от ребер это и есть проекции ребер.)

Рис. 25. Повторяя путь Эйлера, нарисуем на шаре многогранник.

И с помощью этого приема доказал замечательную теорему с совершенно удивительной формулировкой. Называется теорема «Формула Эйлера для многогранника».

Пусть у многогранника будет: В — количество вершин, Р — количество ребер, Г — количество граней. Эти количества можно непосредственно подсчитать, глядя на модель многогранника. Тогда обязательно будет

В − Р + Г = 2.

Независимо от того, какой мы взяли многогранник. Теорема верна и для куба, и для тетраэдра (рис. 26), и для любого другого многогранника, имеющего границей «изломанную поверхность шара». Всегда это выражение будет равно 2.

Рис. 26. Слева куб (невидимые линии не изображены), справа — тетраэдр из проволоки.

Тетраэдр это любая треугольная пирамида. Раньше в такой форме делали молочные пакеты. Давайте посчитаем у молочного пакета количество вершин, ребер и граней. Сколько вершин у молочного пакета?

Слушатель: 4.

А.С.: В = 4. Сколько ребер у нашего тетраэдра?

Слушатели: 6.

А.С.: Без сомнения. А граней?

Слушатели: 4.

А.С.: Верна формула? 4–6 + 4 = 2. Верна.

А теперь рассмотрю другую пирамиду — четырехугольную (рис. 27).

Рис. 27. Схема 4-угольной пирамиды.

У нее 5 вершин, 8 ребер и 5 граней. Формула верна: 5–8 + 5 = 2.

Слушатель: А количество вершин и граней всегда совпадает?

А.С.: Нет, ни в коем случае не всегда. Давайте посмотрим на куб (рис. 26, слева).

У обычного куба — 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. (Бывают еще и необычные кубы… например, 4-мерные.)

Снова получаем два: 8 − 12 + 6 = 2.

Никуда от этой формулы не денешься. Думаю, что до Эйлера эту закономерность тоже кто-то замечал, но важно не первым заметить, а громко об этом заявить. Так сказать, довести до сведения широких масс.

Не буду сегодня ничего больше доказывать. Вместо этого я расскажу о некоторых великих математических загадках прошлого.

Давайте вспомним формулу для решения квадратного уравнения с коэффициентами а, b, c:

На самом деле не очень важно, как конкретно она выглядит. Важно то, что это — универсальный метод решения квадратного уравнения. Какие бы они ни были, эти а, b и с, если действие произвести, вы получите какое-то число.

Тут есть две точки зрения на эту ситуацию. Если написана некоторая формула, то она может случайно оказаться верной для каких-то чисел а, b, c, то есть для какого-то квадратного трехчлена. Для одного случайно оказалась верной, для другого оказалась верной. Сколько раз нужно проверять, чтобы точно сказать, что она всегда верна? Бесконечное количество раз. Но можно сделать иначе. Можно взять эту формулу, подставить в исходное уравнение

ах2 + bх + c = 0

и убедиться в том, что всё сократится, и вместо символов а, b, с слева возникнет ноль. Это и будет означать, если мы верим в язык символов, что формула верна. У нас всё сократилось, в любом случае, какие бы а, b, c мы ни взяли.

Слушатель: Простите, а для чего нужна эта формула?

А.С.: Для чего она нужна? Ну, я бы сказал так. Лично для меня ответ такой: для красоты. Для того, чтобы быть уверенным, что математика может дать какие-то универсальные рецепты вычислений. Сейчас, конечно, компьютеры решают задачи посложнее этого уравнения, но раньше