Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Вы распределяете земельные участки, измеряете какие-то прямоугольные куски, у вас получается квадратное уравнение. Можно медленно прикидывать, как это сделать, а можно быстро получить ответ.

Слушатель: То есть практическое применение какое-то было?

А.С.: Ну, раньше — да. Дальше эта идея развивалась так. А что, если я напишу уравнение:

ax3 + bх2 + сх + d = 0?

Могу я написать универсальную формулу, с помощью которой можно вычислить x? При этом разрешается складывать, вычитать, умножать, делить и даже извлекать корни, причем любой степени. Но больше ничего не разрешается.

Слушатель: От куба и дальше такого сделать нельзя.

А.С.: Можно; но эту формулу не изучают в школе. Формула для кубического случая была придумана в первой половине XVI века. Несколько математиков работали над этой проблемой одновременно. Сейчас формула носит имя Джироламо Кардано, но он не придумал ее, а опубликовал метод другого математика (т. е. «громко об этом заявил»).

Чтобы выписать эту формулу, мне понадобится целая доска, поэтому я не буду этого делать. Как только поняли механизм решения кубического уравнения, сразу придумали формулу для решения уравнения четвертой степени. Она была еще страшнее. Вывел ее ученик Кардано, по фамилии Феррари. Всё это происходило в XVI веке, когда математики уже свободно обращались с буквами, поэтому был сформулирован самый общий вопрос. Можно ли написать формулу для решения уравнения произвольной степени:

anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0

(an, an-1…. — известные числа. Так обозначают для удобства. А то вдруг не хватит букв алфавита для их обозначения?)

Пусть она займет 10 досок, пусть она займет 100 досок. Погоня за этой формулой продолжалась до конца XVIII века. А в самом начале XIX века прозрение спустилось на несколько человек сразу, из которых самым главным я считаю французского математика Эвариста Галуа (хотя первым ситуацию в общих чертах осознал Жозеф Луи Лагранж). Было доказано, что никакая конечная формула не может быть решением уравнения произвольной степени. Такой формулы не существует. Не потому, что люди еще глупые или не все формулы перебрали или, может быть, они не так ставили корни. Никакое выражение, содержащее плюс, минус, умножить, разделить и извлечь корень любой степени не может при подстановке в уравнение anxn + an-1xn-1 +… + а0 = 0 полностью сократиться. Это — математически строгий результат начала XIX века[9].

Еще очень известна теорема Ферма. Доказательство теоремы Ферма — это примерно 120 страниц трудного текста для очень посвященного человека.

Про нее мы поговорим потом, а сейчас просто запишем ее формулировку. Она очень простая.

Ни для каких целых чисел x, y, x, отличных от нуля, и никакого натурального n, большего 2, не может выполняться равенство:

хn + уn = zn.

Эту теорему доказывали с 1637 по 1994 год. Впоследствии были решены еще две или три величайшие математические проблемы прошлых веков. Сейчас математика пожинает плоды всего своего существования.

Слушатель: Это сделано с помощью компьютеров?

А.С.: Нет. Единственное, что сделали с помощью компьютера — это так называемая «проблема четырех красок». XX век — прорыв в авиации, в космосе. Но самый большой прорыв в это время был в математике. В ней перевернули всё вверх дном: сняли кучу гипотез, превратили их в теоремы. На моей памяти сняли несколько проблем, которые стояли веками, если не тысячелетиями.

Слушатель: А это правда, что у теоремы Ферма нет практического применения?

А.С.: А кто его знает? Она (точнее, метод ее доказательства) может иметь некоторое отношение к физической модели мира. На самом деле, последнее, что интересно математику, это то, какое у теоремы практическое применение. Математика в каком-то смысле сродни настоящей религии. Это вещь в себе. Если она кому-то помогает, математиков это особо не интересует. Люди, которые занимаются прикладной математикой, имеют совершенно другое настроение. Это — другие люди. Как, например, разнятся между собой учителя и чиновники. То же самое с математиками. Человек, который формулу ищет, и человек, который хочет с помощью нее что-то сделать, — это два разных человека.

На этом мы закончим первую лекцию. На следующем занятии мы будем доказывать теорему про футбольный мяч и формулу Эйлера.

Лекция 2

География бублика и паркет, который нельзя купить

А.С.: Сегодня мы займемся тем, что называется топологией. Многие считают ее центральной наукой в математике. Математика — это центральная наука во всех науках. Топология получается тогда как бы «центром внутри центра», то есть самой главной дисциплиной. Она сформировалась в начале XX века, и постепенно стало ясно, что она лежит в сердце математики. На простом языке, топология — это геометрия плюс анализ. А можно сказать и по-другому: тот, кто хочет понять самые глубокие и важные закономерности и геометрии, и математического анализа, должен изучать эти науки с топологической точки зрения.

100 лет назад топология уже достаточно хорошо оформилась, а началась она, наверное, с Эйлера (того самого Эйлера, формулу которого мы сегодня будем с вами изучать). Были сформулированы определения важнейших объектов топологии: линия, поверхность, объём, многомерное пространство. Было осознано, что у топологических объектов имеется важное свойство: размерность. Например, линия — это одномерный объект (его можно при этом поместить в 1-мерное пространство, в 2-мерное, в 3-мерное и даже в так называемое «4-мерное пространство»). Поверхность — двумерный объект (он может располагаться в 2-мерном пространстве, в 3-мерном, 4-мерном и так далее). Тело, имеющее положительный объём — это 3-мерный объект; но оно может располагаться в 3-мерном, 4-мерном, 5-мерном… пространствах. Ниже всё это будет рассматриваться в самых простых случаях, поскольку свойства топологических объектов, лежащих в 4-мерном, 5-мерном, 6-мерном… пространствах недоступны непосредственному геометрическому восприятию человека. Может быть, это хорошо, что человек не может совершить даже небольшую и короткую по времени прогулку в «подлинное» 4-мерное пространство. Вернувшись из такой прогулки, этот бедняга мог бы с ужасом обнаружить, что сердце у него теперь находится не с левой, а с правой стороны (и ему, кроме того, придется примириться с тем фактом, что он стал левшой, хотя ранее им не был). Так что с 4-мерным пространством шутки плохи. Но и в 3-мерном пространстве (казалось бы, так хорошо нам знакомом) топология сумела обнаружить ряд совершенно сногсшибательных фактов. Приступим же к ее изучению (конечно, на общеописательном уровне, не достигая стопроцентной строгости изложения).

Допустим, у вас есть глобус, или