Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

футбольный мяч, или арбуз. Это объекты по сути разные, а по форме они одинаковые. Как говорится на житейском языке, это тела, которые имеют форму шара. Однако с точки зрения топологии арбуз резко отличается от глобуса и от футбольного мяча: арбуз внутри заполнен веществом, а глобус и мяч внутри пустые. Разумно считать, что толщина картонной поверхности глобуса и толщина оболочки мяча имеют нулевую толщину. Тогда глобус и мяч являются двумерными объектами, а арбуз — трехмерным. Но можно мысленно рассматривать поверхность арбуза — получится «двумерный объект, ограничивающий исходный трехмерный арбуз». Ниже мы будем говорить просто о поверхности шара (неважно, какого диаметра). Допустим, что мяч имеет диаметр 20 см, поверхность арбуза — диаметр 50 см, а глобус — 200 см. Для лучшего понимания, что такое топология, рассмотрим также кубик со стороной 20 см, склеенный из бумаги, и таких же размеров кубик, сделанный из кусочков проволоки, идущих вдоль ребер куба. Итого у нас имеется пять объектов. С общежитейской точки зрения их можно разделить на две группы — «круглые» (3 шт.) и «кубообразные» (2 шт.). С точки зрения человека, привыкшего всё измерять сантиметром (например, портного), их надо разделить на две группы по другому принципу: «предметы с размерами порядка 20 см» (3 шт.) и «более крупные предметы» (2 шт.). А с точки зрения математика-тополога, здесь имеются четыре абсолютно одинаковых предмета и один особенный (а именно, проволочный куб). И тополог даже даст обоснование, почему он так считает: первые четыре объекта являются двумерными, а последний объект — одномерный. Таким образом, топология не только не видит разницы между поверхностью шара диаметра 20, 50 или 200 см, но и не видит, разницы, между поверхностью куба и поверхностью шара! Итак, тополог надевает на себя «волшебные очки», которые не позволяют определить ни размеры, ни форму предметов. Что же он тогда через них сможет разглядеть? Он сумеет разглядеть самое глубинное отличие представленных ему предметов друг от друга, их, так сказать, конструкцию. Например, добавим к этим пяти предметам еще и бублик с внешним диаметром 20 см и будем интересоваться не самим бубликом, заполненным тестом, а только его поверхностью. А также добавим обыкновенное кольцо из проволоки (диаметром 1 см). Что скажет тогда тополог? «С точки зрения размерности здесь имеется два типа объектов: двумерные и одномерные. Но поверхность бублика резко, принципиально отличается от поверхности шара. Точно так же проволочный кубик резко отличается от кольца из проволоки. Итак, здесь представлены четыре различных топологических типа: поверхность шара (4 предмета), поверхность бублика, окружность, проволочный кубик».

Врезка 1. Упражнение для слушателей (необязательное; но ответ полезно прочесть)

Во времена фашистской Германии в ней процветали ученые-шарлатаны. Один из них на полном серьезе утверждал, что всё космическое пространство вокруг Земли заполнено… льдом. (То есть, что мечтать о космических полетах бессмысленно.) Ну, допустим, это так и есть. Хм. Рассмотрим тогда три объекта: поверхность Земли, внутренность Земли и наружная часть Земли, состоящая, хм, изо льда. Как называются эти объекты на языке топологии? Одинаковы ли с точки зрения топологии второй и третий объект?

ОТВЕТ. Первая часть ответа: первый объект — двумерный, типа сферы. Не имеет граничных точек.

Второй объект: 3-мерный, типа шара. Его граничные точки — все точки поверхности Земли.

Третий объект: 3-мерный, типа шарового слоя. Граничные точки — все точки поверхности Земли.

Вторая часть ответа: второй и третий тип топологически различны, так как шаровой слой существенно отличается от шара. Граничные точки у них тем не менее одинаковы.

Третья часть ответа: не следует говорить, что третий объект «бесконечный по размерам», так как в топологии неважно, каковы размеры объектов. Например, если взять поверхность сферы и выкинуть из нее одну-единственную точку, то по житейским представлениям этот объект «конечный по размерам», в то время как плоскость «бесконечна». По правилам же топологического исследования, сфера с «выколотой» точкой имеет тот же топологический тип, что и плоскость.

Возьмем и изогнем, изомнем, растянем поверхность шара, но нигде не порвем, и не склеим, никакие две точки в одну. Мы можем из нее таким образом получить, например, куб (то есть, естественно, не сам куб, а его поверхность). Чтобы понять, как это делается, покажем, как из круга, изготовленного из резины, получить квадрат (размеры квадрата неважны). Для этого надо в четырех равноудаленных местах границы круга потянуть наружу резиновый слой, пока он не примет форму квадрата. В частности, точки границы круга превратились в точки периметра квадрата.

Можно много чего сделать из резиновой камеры сдутого футбольного мяча. Но есть интуиция, которая подсказывает, что автомобильную (или велосипедную) камеру из камеры футбольного мяча сделать будет затруднительно, даже используя те широкие возможности, которые предоставляет нам топология. Куб, эллипсоид (то есть сжатая поверхность сферы), яблоко, арбуз — пожалуйста, а вот бублик из шара не сделаешь, не порвав его, либо не склеив между собой некоторые точки. Согласно сказанному выше, надо различать две разные задачи: 1) Из заполненного шара сделать заполненный бублик и 2) Из поверхности шара сделать поверхность бублика. Первая задача «решена» в подписи к рис. 28.

Рис. 28. Слева — шаровой кусок теста, справа — бублик из теста. Пекарь (или лектор?) взял левый кусок, раскатал его так, чтобы из него получился удлиненный цилиндр (в топологии заполненный цилиндр неотличим от заполненного шара), согнул его и слепил концы этого цилиндра. Вот и получился из шара бублик. Стоп-стоп. Слеплять (то есть склеивать точки) нельзя! Тип объекта изменился.

И Эйлер задался вопросом, а можно ли это утверждение доказать? Вроде бы интуитивно оно совершенно понятное. Но математика ставит задачу перевести очевидное на язык строго доказанного. Ведь если мы откроем цивилизацию, которая, например, живет на плоскости, для ее жителей будет не очевиден рассматриваемый нами факт (см. врезку 2). А с помощью математики мы сможем передать им содержание теоремы. К чему я клоню?

Врезка 2. Эйнштейн — о топологии

Однажды А. Эйнштейна попросили совсем кратко, на понятном любому языке, пояснить, в чем состоит суть сделанных им открытий. Он ответил: все мы, люди, словно маленькие жучки с завязанными глазами, ползающие по поверхности большого мяча и воображающие, что двигаемся но плоскости. Я же первый понял, что мир, в котором я живу, искривлен. Но пока не совсем понятно, как именно он искривлен. (То есть, «по-научному», каков топологический тип космоса.)

А вот к чему. Несколько