Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - Луис Арталь

Процентная ставка также является ценой, уплачиваемой за определенные финансовые активы. Так, если власти страны, стремясь привлечь средства населения, выпускают государственные облигации, казначейские векселя и другие ценные бумаги, то, помимо срока погашения, на них указывается и определенная процентная ставка. Например, государство может выпустить облигации под 3,5 % либо краткосрочные векселя на срок 3 или 6 месяцев под 1 % и 1,5 % соответственно. Частные компании также могут выпускать ценные бумаги с фиксированным доходом (например, облигации) с определенной процентной ставкой. Таким образом компании получают необходимые средства на рынке капитала, однако взамен им нужно будет уплатить определенную процентную ставку.

Центральные банки разных стран устанавливают базовую (официальную) процентную ставку для контроля инфляции и денежной массы в обращении. Если процентная ставка снижается, количество денежной массы в обращении увеличивается, так как кредиты становятся дешевле. Чем больше денег находится в обращении, тем больше ликвидных платежных средств на руках у потребителей, в итоге растет спрос и, как следствие, цены. И наоборот, если экономический рост слишком высок и инфляция растет, центральные банки (Федеральная резервная система, Европейский центральный банк и другие) стремятся поднять процентные ставки, чтобы замедлить потребление и рост цен.

Базовые процентные ставки в разных странах и денежных зонах отличаются.

Так, в январе 2010 года процентная ставка, установленная Федеральной резервной системой США, находилась на уровне 0,25 %, ставка Европейского центрального банка — 1 %, ставка Банка Англии составляла 0,50 %, ставка Банка Японии — 0,10 %, Банка Канады — 0, 25 %, Резервного банка Австралии — 3,75 %, Национального банка Швейцарии — 0,25 % и т. д. Официальная базовая процентная ставка используется в качестве отправной точки при определении ставок межбанковских кредитов, то есть процентной ставки, под которую банки дают займы друг другу.

Официальные базовые процентные ставки (на январь 2010 года).

Эти межбанковские процентные ставки, как правило, немного выше, чем базовые процентные ставки. Так, EURIBOR — это межбанковская процентная ставка в еврозоне. Она рассчитывается на основе межбанковских ставок, используемых при сделках на открытом рынке ведущими европейскими банками, и является основой при расчете процентов по большинству кредитов. Выдавая любой потребительский или ипотечный кредит, банки обычно используют EURIBOR (или межбанковскую ставку Банка Англии или ФРС, если речь идет об Англии или США соответственно) в качестве базисной процентной ставки и увеличивают ее на несколько пунктов.

Колебания ставки EURIBOR в 2005–2010 годах.

По сути, для каждой кредитной операции существует отдельная ставка EURIBOR в зависимости от срока выдачи кредита: 1 месяц, 3 месяца, 6 месяцев, 12 месяцев и т. д. Межбанковские процентные ставки ФРС, Банка Англии и Банка Японии для займов сроком в 1 день, 3 месяца или 1 год также отличаются. Расчет EURIBOR выполняется ежедневно до И утра на основе ставок, используемых 64 основными европейскими банками, по следующей схеме: крайние значения (15 % самых высоких и 15 % самых низких ставок) отбрасываются, после чего рассчитывается среднее арифметическое. Дневная межбанковская ставка EONIA рассчитывается Европейским центральным банком на основе дневных межбанковских ставок, используемых 48 европейскими банками.

Глава 3. Банки и страхование. Кредиты и виды процентов

Математика в банковской сфере имеет наибольшее значение при расчете ставок по кредитам и ипотеке. Как вы увидите далее, при принятии финансовых решений очень важно использовать функции и прогрессии.

Сначала дадим определение некоторым основным понятиям: капиталу, процентам с капитала и процентной ставке. В экономике капитал является фактором производства: капитал — это совокупность инвестиций владельца предприятия в оборудование (капиталовложения) или производство. В финансовой сфере капитал ассоциируется с суммой денег, размещаемых на банковском вкладе и предназначенных для приобретения облигаций, ценных бумаг с переменной доходностью и прочих финансовых активов. Также капитал — это деньги, выдаваемые третьим лицам в качестве займов за определенную плату (взимаемую ежедневно, ежемесячно, ежегодно и т. д.), называемую процентной ставкой.

Так, когда мы запрашиваем у банка кредит на некую сумму С0  сроком, например, на три года (n = 3) под 6 % годовых (номинальная процентная ставка i = 6 %), по прошествии трех лет мы должны будем вернуть взятую в кредит сумму плюс три раза по 6 % капитала — сумму процентов, рассчитанных по используемой процентной ставке. Например, если C0 = 1000, срок кредита n = 3 года, процентная ставка i = 6 %, то по прошествии трех лет мы должны будем вернуть банку 1000 денежных единиц плюс 3∙(6/100)∙1000 = 180 — капитал плюс проценты в размере 60 денежных единиц в год (общая сумма к уплате — 1180 единиц).

Если каждый год необходимо возвращать одну и ту же сумму процентов, то говорят, что используются простые проценты, а итоговая сумма Сn, которую требуется вернуть к концу срока кредита, состоит из начального заемного капитала и процентов и равняется:

сn = С0 + n∙i∙С0 = С0∙(1 + n∙i).

Это формула простых процентов, где C0 — заемный капитал, i — процентная ставка (выраженная в виде десятичной дроби); n — число периодов, в течение которых применяется процентная ставка; Сn — общий капитал плюс проценты к уплате; n∙i∙C0 — общая сумма процентов, которые должны быть уплачены за весь срок кредита.

Когда клиент банка открывает вклад на определенный срок, требуется решить обратную задачу. В этом случае банк должен вернуть клиенту вложенную сумму с процентами, начисляемыми, например, в конце каждого года. Банк перечисляет проценты на текущий счет клиента в сроки, указанные в банковском договоре. Проценты могут начисляться раз в год, раз в полгода, раз в квартал или раз в месяц.

В договоре может указываться годовая процентная ставка, а проценты при этом выплачиваются, например, раз в год, квартал или месяц. В этом случае на счет клиента будет поступать полная сумма процентов за год либо разделенная на 4 или на 12 в зависимости от периодичности начисления процентов. В договоре может использоваться месячная или квартальная процентная ставка. В этом случае для расчетов процентов применяется формула, приведенная выше, однако период времени n выражается в месяцах или кварталах соответственно.

Иногда клиент хочет прибавить полученные проценты к вкладу, чтобы на них также начислялись проценты. В этом случае речь идет о так называемых сложных процентах. Рассмотрим предыдущий пример снова, несколько его изменив. В конце первого года клиент помещает на счет вклада итоговую сумму в 1060 денежных единиц. В конце второго года его капитал будет равен 1123,60, так как, помимо 120 денежных единиц, выплаченных в качестве процентов, также будут выплачены 6 % от 60 единиц, вложенных по итогам первого года, то есть дополнительно 3,6 денежной единицы. В конце третьего года итоговый капитал составит 1191,02, то есть рентабельность вложений за весь срок вклада составит 19,10 % — на 1,1 пункта больше, чем если бы использовались простые проценты.

Процентная ставка по кредиту, или доходность капитала, может быть месячной, квартальной или годовой. Следовательно, если номинальная годовая процентная ставка составляет 12 %, но на сумму кредита ежемесячно начисляется 1 %, и эта сумма добавляется к телу кредита, то итоговая сумма будет отличаться. Поэтому определяется эквивалентная годовая процентная ставка. Эквивалентная годовая процентная ставка по кредиту с годовой процентной ставкой i, проценты по которому начисляются n раз в год (например, ежемесячно), рассчитывается так:

* * *

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С0, выводится так: в первый год (n = 1) начисляется сумма процентов, равная С0∙i. Во второй год (n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С1 = С0 + С0∙i = С0∙(1 + i), и так происходит до последнего года.